数学3 定積分・面積 問題 45 解説

方針・初手

被積分関数に $x$ と $\sin x^2$ が含まれていることに着目する。$x^2$ を微分すると $2x$ となり、$x$ の定数倍が現れることから、置換積分法が有効であると判断できる。

あるいは、合成関数の微分の逆算として捉え、$f(g(x))g'(x)$ の形を意識して直接積分することも可能である。

解法1

$t = x^2$ とおく。

両辺を $x$ で微分すると、

$$\frac{dt}{dx} = 2x$$

すなわち、

$$x dx = \frac{1}{2} dt$$

となる。これを用いて与式を $t$ の積分に書き換えると、

$$\int x \sin x^2 dx = \int \sin t \cdot \frac{1}{2} dt$$

$$= \frac{1}{2} \int \sin t dt$$

$$= \frac{1}{2} (-\cos t) + C$$

（$C$ は積分定数）

最後に $t$ を $x^2$ に戻して、

$$= -\frac{1}{2} \cos x^2 + C$$

解法2

合成関数の微分の公式を用いると、

$$(\cos x^2)' = -\sin(x^2) \cdot (x^2)' = -2x \sin x^2$$

である。この式の両辺を $-\frac{1}{2}$ 倍すると、

$$-\frac{1}{2} (\cos x^2)' = x \sin x^2$$

となる。したがって、求める不定積分は、

$$\int x \sin x^2 dx = \int \left\{ -\frac{1}{2} (\cos x^2) \right\}' dx$$

$$= -\frac{1}{2} \cos x^2 + C$$

（$C$ は積分定数）

解説

被積分関数が $f(g(x))g'(x)$ の形、あるいはその定数倍になっている場合によく用いられる手法である。本問では $g(x) = x^2$ と見なすことで、その導関数 $g'(x) = 2x$ から、被積分関数にある $x$ をうまく処理できる。

解法1のように丁寧に置換積分を行ってもよいが、解法2のように微分の逆算から直接原子関数を見つけることができると、計算時間の短縮とミスの軽減につながる。不定積分の問題であるため、最後に積分定数 $C$ を書き忘れないように注意したい。

答え

$$-\frac{1}{2} \cos x^2 + C \quad (C \text{ は積分定数})$$