数学3 定積分・面積 問題 46 解説

方針・初手

指数関数を含む分数の積分である。そのままでは公式を適用できないため、式変形や置換積分などの工夫が必要になる。 主な方針として、以下の2つが考えられる。

1. 分母・分子に $e^{-x}$ を掛けて、分子が分母の微分になる形（$\frac{f'(x)}{f(x)}$）を作り出す。
2. $e^x = t$ とおいて置換積分を行い、有理関数の積分に帰着させる。

どちらの方法でも基本的な積分の計算に持ち込むことができる。

解法1

与えられた不定積分を $I$ とおく。被積分関数の分母・分子に $e^{-x}$ を掛けると、

$$I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(e^x + 1)} dx = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx$$

となる。ここで、$(1 + e^{-x})' = -e^{-x}$ であることに着目すると、

$$I = - \int \frac{-e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx = - \int \frac{(1 + e^{-x})'}{1 + e^{-x}} dx$$

と変形できる。したがって、

$$I = - \log (1 + e^{-x}) + C \quad (C \text{は積分定数})$$

対数の性質を用いてこの式を整理すると、

$$\begin{aligned} I &= - \log \left( \frac{e^x + 1}{e^x} \right) + C \\ &= - \{ \log(e^x + 1) - \log e^x \} + C \\ &= x - \log(e^x + 1) + C \end{aligned}$$

となる（$e^x + 1 > 0$ であるため、真数の絶対値記号は不要である）。

解法2

$e^x = t$ とおくと、$x = \log t$ より、両辺を $t$ で微分して

$$dx = \frac{1}{t} dt$$

これを用いて置換積分を行うと、

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{e^x + 1} dx &= \int \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{1}{t} dt \\ &= \int \frac{1}{t(t + 1)} dt \end{aligned}$$

被積分関数を部分分数分解すると、

$$\frac{1}{t(t + 1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1}$$

となるから、

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{t(t + 1)} dt &= \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} \right) dt \\ &= \log |t| - \log |t + 1| + C \quad (C \text{は積分定数}) \end{aligned}$$

$t = e^x > 0$ より、$t + 1 > 0$ でもあるため、絶対値記号を外して $x$ の式に戻すと、

$$\begin{aligned} \log e^x - \log(e^x + 1) + C &= x - \log(e^x + 1) + C \end{aligned}$$

となる。

解説

$\int \frac{1}{e^x + 1} dx$ は、大学入試において頻出の積分計算である。

解法1の「分母分子に $e^{-x}$ を掛ける」という操作は、指数関数の積分において $\frac{f'(x)}{f(x)}$ の形を作り出すための非常に有効かつ巧妙な手筋である。この発想を身につけておけば、置換や部分分数分解の手間を省き、素早く計算を終えることができる。

一方で解法2のように $e^x = t$ とおく方法は、指数関数の有理式に対するより機械的で汎用性の高いアプローチである。部分分数分解の計算に習熟していれば、こちらも確実に正答へ辿り着ける。

なお、解法1の途中式である $-\log(1+e^{-x})+C$ を答えとしても数学的には正解であるが、$x - \log(e^x + 1) + C$ のように $x$ の多項式と $\log$ の形に整理しておくのが一般的である。

答え

$$x - \log(e^x + 1) + C \quad (C \text{は積分定数})$$