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数学3 定積分・面積問題 57 解説

方針・初手

(1) 媒介変数表示された曲線の長さの公式 $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$ を用いる。それぞれの導関数を計算し、根号の中身を整理してから積分を実行する。

(2) $t$ の変化に対する $x$ の増減を調べ、曲線 $C$ の概形を把握する。その上で定積分 $S = \int y dx$ を立式し、$x$ から $t$ への置換積分を行う。被積分関数に指数関数と三角関数の積が現れるため、半角の公式や倍角の公式を用いて次数を下げ、微分の逆算や部分積分によって原始関数を求める。また、極座標表示を利用して面積を求める別解も有効である。

解法1

(1) 与えられた $x, y$ を $t$ で微分する。積の微分法を用いる。

$$\frac{dx}{dt} = -e^{-t} \cos t + e^{-t} (-\sin t) = -e^{-t} (\cos t + \sin t)$$

$$\frac{dy}{dt} = -e^{-t} \sin t + e^{-t} \cos t = e^{-t} (\cos t - \sin t)$$

これらより、根号の中身を計算する。

$$\begin{aligned} \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 &= e^{-2t} (\cos t + \sin t)^2 + e^{-2t} (\cos t - \sin t)^2 \\ &= e^{-2t} \{ (\cos^2 t + 2\sin t \cos t + \sin^2 t) + (\cos^2 t - 2\sin t \cos t + \sin^2 t) \} \\ &= e^{-2t} \times 2 = 2e^{-2t} \end{aligned}$$

$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ において $e^{-t} > 0$ であるから、求める長さ $L$ は以下のようになる。

$$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2e^{-2t}} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2} e^{-t} dt$$

$$L = \sqrt{2} \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2} (1 - e^{-\frac{\pi}{2}})$$

(2) $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$\cos t \geqq 0, \sin t \geqq 0$ であり、同時に $0$ になることはない。したがって、(1) で求めた $\frac{dx}{dt}$ について、常に $\frac{dx}{dt} < 0$ が成り立つ。すなわち、$x$ は単調に減少する。

$t=0$ のとき $x=1, y=0$ であり、$t=\frac{\pi}{2}$ のとき $x=0, y=e^{-\frac{\pi}{2}}$ である。また、この区間で常に $y \geqq 0$ である。よって、曲線 $C$ と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ は次式で表される。

$$S = \int_{0}^{1} y dx$$

これを $t$ で置換積分する。$x$ が $0$ から $1$ に変化するとき、$t$ は $\frac{\pi}{2}$ から $0$ へ変化し、$dx = -e^{-t}(\cos t + \sin t) dt$ である。

$$\begin{aligned} S &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} e^{-t} \sin t \cdot \left\{ -e^{-t}(\cos t + \sin t) \right\} dt \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2t} (\sin t \cos t + \sin^2 t) dt \end{aligned}$$

倍角の公式と半角の公式を用いて被積分関数を変形する。

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2t} \left( \frac{1}{2} \sin 2t + \frac{1 - \cos 2t}{2} \right) dt \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2t} (1 + \sin 2t - \cos 2t) dt \end{aligned}$$

ここで、微分の公式により以下の関係が成り立つことに着目する。

$$(e^{-2t} \sin 2t)' = -2e^{-2t} \sin 2t + 2e^{-2t} \cos 2t = -2e^{-2t}(\sin 2t - \cos 2t)$$

これを利用して積分を計算する。

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2t} dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2t} (\sin 2t - \cos 2t) dt \\ &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} e^{-2t} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -\frac{1}{4} \left[ e^{-2t} (1 + \sin 2t) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -\frac{1}{4} \left\{ e^{-\pi} (1 + \sin \pi) - e^{0} (1 + \sin 0) \right\} \\ &= -\frac{1}{4} (e^{-\pi} - 1) = \frac{1 - e^{-\pi}}{4} \end{aligned}$$

解法2

(2) の極方程式を用いた別解を示す。

曲線 $C$ 上の点 $(x, y)$ は、極座標 $(r, \theta)$ を用いて $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ と表される。与えられた媒介変数表示 $x = e^{-t} \cos t, y = e^{-t} \sin t$ と比較すると、$r = e^{-t}, \theta = t$ とおける。したがって、曲線 $C$ は極方程式を用いて次のように表される。

$$r = e^{-\theta} \quad \left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)$$

この曲線は対数螺旋であり、$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲で $r > 0$ である。曲線 $C$、$\theta=0$（$x$軸の正の部分）、$\theta=\frac{\pi}{2}$（$y$軸の正の部分）で囲まれた図形は、動径が掃く領域に一致するため、極方程式による面積の公式 $S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$ を適用できる。

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( e^{-\theta} \right)^2 d\theta \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2\theta} d\theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} e^{-2\theta} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -\frac{1}{4} (e^{-\pi} - 1) = \frac{1 - e^{-\pi}}{4} \end{aligned}$$

解説

(1) は定積分による曲線の長さの公式の基本的な適用である。三角関数の相互関係を用いることで根号の中身が簡潔な形に整理されるため、計算ミスなく確実に正答したい。

(2) の本解である置換積分では、被積分関数に現れる $e^{-2t} \sin t \cos t$ などの処理が鍵となる。三角関数の次数を下げる基本操作を行ったのち、$e^{at} \sin bt$ や $e^{at} \cos bt$ の積分は部分積分を2回繰り返すか、あらかじめ微分形を予想して逆算する手法が定石である。本問では $(e^{-2t} \sin 2t)'$ を計算することで上手く項がまとまり、計算量を大きく削減できる。

また、解法2で示したように、与えられた式が $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ の形をしていることに気づけば、極方程式を利用して圧倒的に短い計算で面積を求めることができる。極座標と直交座標の変換は図形問題を俯瞰する上で強力な武器になる。