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数学3 定積分・面積問題 58 解説

方針・初手

対数関数と整式（分数関数）の積の積分であるから、部分積分法を用いる。 $x^{-3}$ を微分された関数、$\log x$ をそのままにする関数とみなして計算を進める。

解法1

求める定積分を $I$ とおく。

$$I = \int_{1}^{2} x^{-3} \log x \, dx$$

部分積分法を用いると、

$$\begin{aligned} I &= \left[ -\frac{1}{2}x^{-2} \log x \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \left(-\frac{1}{2}x^{-2}\right) \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= \left( -\frac{1}{2 \cdot 2^2} \log 2 - \left(-\frac{1}{2 \cdot 1^2} \log 1\right) \right) + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^{-3} \, dx \\ &= -\frac{1}{8} \log 2 + \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}x^{-2} \right]_{1}^{2} \\ &= -\frac{1}{8} \log 2 - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{1^2} \right) \\ &= -\frac{1}{8} \log 2 - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4} - 1 \right) \\ &= -\frac{1}{8} \log 2 - \frac{1}{4} \left( -\frac{3}{4} \right) \\ &= -\frac{1}{8} \log 2 + \frac{3}{16} \end{aligned}$$

よって、求める値は $\frac{3}{16} - \frac{1}{8} \log 2$ である。

解説

(対数関数) $\times$ (整式・分数関数) の形をした関数の積分は、対数関数を微分する側に回す部分積分が定石である。本問では、$\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ を積分して $-\frac{1}{2}x^{-2}$ とし、$\log x$ を微分して $\frac{1}{x}$ とすることで、被積分関数が $x$ の累乗のみとなり、積分が実行可能になる。計算の際は、符号のミスや分数乗の扱いに注意して丁寧に式変形を行うこと。