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数学3 定積分・面積問題 59 解説

方針・初手

(1)は微分法を用いて関数の増減を調べる。根号を含む関数の微分計算において、合成関数の微分法と積の微分法を正確に用いることが重要である。また、関数 $f(x)$ の定義域（根号の中身が非負）を最初に確認しておく。

(2)は無理関数の定積分である。被積分関数を展開し、$x\sqrt{4-x^2}$ と $\sqrt{4-x^2}$ の2つの項に分けて積分するのが定石である。前者は $(4-x^2)' = -2x$ を利用した置換積分法によって求められ、後者は円の面積の一部とみなして図形的に求めるか、$x = 2\sin\theta$ とおく置換積分法によって求められる。

解法1

(1)

関数 $f(x) = (x+2)\sqrt{4-x^2}$ について、根号の中身は $0$ 以上であるから、定義域は $4-x^2 \ge 0$ より $-2 \le x \le 2$ である。

$-2 < x < 2$ において、$f(x)$ を $x$ で微分すると、

$$\begin{aligned} f'(x) &= (x+2)'\sqrt{4-x^2} + (x+2)\left(\sqrt{4-x^2}\right)' \\ &= 1 \cdot \sqrt{4-x^2} + (x+2) \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} \\ &= \sqrt{4-x^2} - \frac{x(x+2)}{\sqrt{4-x^2}} \\ &= \frac{4-x^2 - x(x+2)}{\sqrt{4-x^2}} \\ &= \frac{-2x^2-2x+4}{\sqrt{4-x^2}} \\ &= \frac{-2(x^2+x-2)}{\sqrt{4-x^2}} \\ &= \frac{-2(x+2)(x-1)}{\sqrt{4-x^2}} \end{aligned}$$

$-2 < x < 2$ において $f'(x) = 0$ となるのは、$x = 1$ のときである。したがって、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$-2$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$	$3\sqrt{3}$	$\searrow$	$0$

表より、$x = 1$ のとき、関数 $f(x)$ は最大値をとる。最大値は、

$$f(1) = (1+2)\sqrt{4-1^2} = 3\sqrt{3}$$

(2)

求める定積分を $I$ とおく。

$$\begin{aligned} I &= \int_{1}^{2} (x+2)\sqrt{4-x^2} dx \\ &= \int_{1}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx + 2\int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} dx \end{aligned}$$

第1項の積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{1}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx &= -\frac{1}{2} \int_{1}^{2} (-2x)(4-x^2)^{\frac{1}{2}} dx \\ &= -\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} (4-x^2)^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} \\ &= -\frac{1}{3} \left( 0 - 3^{\frac{3}{2}} \right) \\ &= -\frac{1}{3} \cdot (-3\sqrt{3}) \\ &= \sqrt{3} \end{aligned}$$

第2項の積分 $\int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} dx$ は、円 $x^2 + y^2 = 4$ の $y \ge 0$ の部分（半径 $2$ の半円）のうち、$1 \le x \le 2$ の部分の面積を表す。円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $x = 1$ の交点のうち、第1象限にあるものは $(1, \sqrt{3})$ である。求める面積は、中心角が $\frac{\pi}{3}$ の扇形の面積から、底辺の長さが $1$、高さが $\sqrt{3}$ の直角三角形の面積を引いたものに等しいので、

$$\int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} dx = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{2}{3}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}$$

以上より、定積分 $I$ は、

$$\begin{aligned} I &= \sqrt{3} + 2 \left( \frac{2}{3}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ &= \sqrt{3} + \frac{4}{3}\pi - \sqrt{3} \\ &= \frac{4}{3}\pi \end{aligned}$$

解法2

(2)の別解

$x = 2\sin\theta \ \left( -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} \right)$ とおく。 $dx = 2\cos\theta d\theta$ であり、$x$ と $\theta$ の対応は以下のようになる。

$x$	$1$	$\to$	$2$
$\theta$	$\frac{\pi}{6}$	$\to$	$\frac{\pi}{2}$

この範囲において、$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta$ である。したがって、

$$\begin{aligned} \int_{1}^{2} f(x) dx &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin\theta + 2)(2\cos\theta) \cdot (2\cos\theta) d\theta \\ &= 8 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin\theta + 1)\cos^2\theta d\theta \\ &= 8 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \cos^2\theta d\theta + 8 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta \end{aligned}$$

ここで、それぞれの定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \cos^2\theta d\theta &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} -(\cos\theta)' \cos^2\theta d\theta \\ &= \left[ -\frac{1}{3}\cos^3\theta \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= 0 - \left( -\frac{1}{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \right) \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{8} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta \\ &= \left[ \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left( \frac{\pi}{4} + 0 \right) - \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \\ &= \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} \int_{1}^{2} f(x) dx &= 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} + 8 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \\ &= \sqrt{3} + \frac{4}{3}\pi - \sqrt{3} \\ &= \frac{4}{3}\pi \end{aligned}$$

解説

(1)の最大値を求める問題では、分数関数の微分と無理関数の微分の計算力が問われる。微分したのち因数分解して符号変化を捉えやすい形に変形することがポイントである。また、関数が定義される $x$ の範囲を初めに特定しておく習慣をつけたい。

(2)の定積分は、被積分関数に $\sqrt{a^2-x^2}$ を含む定型の計算である。解法1のように展開してそれぞれ適切な積分法（置換積分と円の面積）を用いる方法が、計算量を抑えられるため実戦的である。解法2のように一気に $x = 2\sin\theta$ と置換する方法も、計算の手順が多くはなるが、統一的な方針で解き進めることができる。どちらの方法でも確実に最後まで計算しきれるようにしておきたい。