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数学3 定積分・面積問題 60 解説

方針・初手

(1) は対数関数の積分である。部分積分を用いて計算する。 (2) は階乗のような積の形をした数列の極限であり、$n$ 乗根が含まれているため、対数をとって和の極限に帰着させるのが定石である。区分求積法を用いて定積分に変換し、(1) の結果を利用して極限値を求める。

解法1

(1)

部分積分法を用いる。$\log x = 1 \cdot \log x = (x)' \log x$ とみる。

$$\int_{1}^{s} \log x \, dx = \left[ x \log x \right]_{1}^{s} - \int_{1}^{s} x \cdot \frac{1}{x} \, dx$$

$$= (s \log s - 1 \cdot 0) - \int_{1}^{s} 1 \, dx$$

$$= s \log s - \left[ x \right]_{1}^{s}$$

$$= s \log s - (s - 1)$$

$$= s \log s - s + 1$$

(2)

求める極限の対数を考える。

$$\log \left\{ \frac{(a_n)^{\frac{1}{n}}}{n} \right\} = \log \left\{ \frac{a_n}{n^n} \right\}^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \log \frac{a_n}{n^n}$$

ここで、与えられた $a_n$ の式を用いて真数部分を変形する。

$$\frac{a_n}{n^n} = \frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}{n \cdot n \cdots n}$$

$$= \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(1 + \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 + \frac{n}{n}\right)$$

これより、対数は次のように和の形で表せる。

$$\frac{1}{n} \log \frac{a_n}{n^n} = \frac{1}{n} \log \left\{ \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k}{n}\right) \right\}$$

$$= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log \left(1 + \frac{k}{n}\right)$$

$n \to \infty$ としたときの極限は、区分求積法により定積分で表される。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log \left(1 + \frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1} \log (1+x) \, dx$$

この定積分を計算する。$t = 1+x$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = 1$ であり、積分区間は $x=0 \to 1$ に対応して $t=1 \to 2$ となる。

$$\int_{0}^{1} \log (1+x) \, dx = \int_{1}^{2} \log t \, dt$$

これは (1) において $s=2$ としたものであるから、(1) の結果を利用して、

$$\int_{1}^{2} \log t \, dt = 2 \log 2 - 2 + 1 = 2 \log 2 - 1$$

$$= \log 4 - \log e = \log \frac{4}{e}$$

以上より、

$$\lim_{n \to \infty} \log \frac{(a_n)^{\frac{1}{n}}}{n} = \log \frac{4}{e}$$

対数関数は連続関数であるため、真数の極限は極限の真数と一致する。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{(a_n)^{\frac{1}{n}}}{n} = \frac{4}{e}$$

解説

数列の積や階乗、$n$ 乗根を含む極限の典型問題である。「対数をとって区分求積法」という定石処理に気付けるかがポイントとなる。

対数をとる際、分母の $n$ を対数の中に入れて $(a_n / n^n)^{\frac{1}{n}}$ とすることで、$n$ 個の因数に対して $n$ 個の $n$ を割り振ることができ、綺麗に区分求積法の形に持ち込める。また、定積分の計算では置換積分によって (1) が誘導として機能していることがわかる。誘導にうまく乗ることが計算の簡略化とミス防止につながる。