数学3 定積分・面積 問題 61 解説

方針・初手

曲線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めるため、まずは交点の $x$ 座標を求めて積分区間を決定する。次に対数関数の真数条件に注意しつつ、積分区間における曲線の上下関係（$y$ の符号）を調べる。

対数関数と多項式の積の形をした定積分となるため、部分積分法を用いて対数関数を微分側に回し、有理関数の積分に帰着させるのが定石である。

解法1

対数の真数条件より、

$$\frac{x+1}{x^2+1} > 0$$

全ての実数 $x$ において $x^2+1 > 0$ であるから、$x+1 > 0$ すなわち定義域は $x > -1$ である。

曲線 $y = x\log\frac{x+1}{x^2+1}$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$y = 0$ とおいて、

$$x\log\frac{x+1}{x^2+1} = 0$$

$$x = 0 \quad \text{または} \quad \log\frac{x+1}{x^2+1} = 0$$

後者の対数方程式を解くと、

$$\frac{x+1}{x^2+1} = 1$$

$$x^2 - x = 0$$

$$x(x-1) = 0$$

$$x = 0, 1$$

これらは定義域 $x > -1$ を満たす。したがって交点の $x$ 座標は $x=0, 1$ であり、積分区間は $0 \le x \le 1$ となる。

この区間 $0 \le x \le 1$ において、$x \ge 0$ であり、$x(1-x) \ge 0$ より $x+1 \ge x^2+1$ であるから、

$$\frac{x+1}{x^2+1} \ge 1$$

となる。したがって $\log\frac{x+1}{x^2+1} \ge 0$ であり、区間内で $y \ge 0$ であることがわかる。

求める面積 $S$ は、

$$S = \int_0^1 x\log\frac{x+1}{x^2+1} dx$$

部分積分法を用いて計算する。

$$S = \int_0^1 \left(\frac{x^2}{2}\right)' \log\frac{x+1}{x^2+1} dx$$

$$S = \left[ \frac{x^2}{2} \log\frac{x+1}{x^2+1} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} \left( \log(x+1) - \log(x^2+1) \right)' dx$$

第一項は $x=1$ のとき $\frac{1}{2}\log 1 = 0$、$x=0$ のとき $0$ となるため $0$ である。よって、

$$S = - \frac{1}{2} \int_0^1 x^2 \left( \frac{1}{x+1} - \frac{2x}{x^2+1} \right) dx$$

$$S = - \frac{1}{2} \int_0^1 \left( \frac{x^2}{x+1} - \frac{2x^3}{x^2+1} \right) dx$$

被積分関数の有理式について、分子の次数を分母の次数より小さくするために変形を行う。

$$\frac{x^2}{x+1} = \frac{(x^2-1)+1}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}$$

$$\frac{2x^3}{x^2+1} = \frac{2x(x^2+1)-2x}{x^2+1} = 2x - \frac{2x}{x^2+1}$$

これらを用いると、積分の中身は次のように整理できる。

$$\frac{x^2}{x+1} - \frac{2x^3}{x^2+1} = \left( x - 1 + \frac{1}{x+1} \right) - \left( 2x - \frac{2x}{x^2+1} \right) = -x - 1 + \frac{1}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1}$$

これを定積分に代入して計算を進める。

$$S = - \frac{1}{2} \int_0^1 \left( -x - 1 + \frac{1}{x+1} + \frac{2x}{x^2+1} \right) dx$$

$$S = - \frac{1}{2} \left[ -\frac{x^2}{2} - x + \log(x+1) + \log(x^2+1) \right]_0^1$$

$x=1$ および $x=0$ を代入すると、

$$S = - \frac{1}{2} \left\{ \left(-\frac{1}{2} - 1 + \log 2 + \log 2\right) - 0 \right\}$$

$$S = - \frac{1}{2} \left( -\frac{3}{2} + 2\log 2 \right)$$

$$S = \frac{3}{4} - \log 2$$

解説

対数関数を含む関数の積分における典型的な処理を問う問題である。被積分関数が「多項式 $\times$ 対数関数」の形をしているため、多項式側を積分し、対数関数側を微分する部分積分が極めて有効である。

部分積分を実行した後は、有理関数の積分に帰着される。有理関数の積分では「分子の次数を下げる（割り算を実行する）」のが鉄則である。この基本操作を丁寧に行うことで、容易に積分可能な形に変形できる。また、面積を求める問題である以上、積分区間の決定やグラフの上下関係（被積分関数の符号）の確認、さらには対数の真数条件の確認など、数学的に必要な手順を省略せずに記述することが重要である。

答え

$\frac{3}{4} - \log 2$