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数学3 定積分・面積問題 62 解説

方針・初手

(1) については、与えられた曲線の方程式を $y$ について解き、$x$ 軸との交点から積分区間を定めて定積分を計算する。その際、計算結果に現れる $b$ を与えられた条件式を用いて $a$ の式に置き換える。

(2) については、(1) で求めた $S$ を $a$ の関数とみなし、微分して増減表を作成することで最大値を求める。$a$ の定義域に注意しながら極値をとる $a$ の値を特定する。

解法1

(1)

曲線の方程式 $\sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{y}{b}} = 1$ において、根号の中身は $0$ 以上であるから、$x \geqq 0$ かつ $y \geqq 0$ である。（問題の条件より $a > 0$, $b > 0$ である）

方程式を $\sqrt{\frac{y}{b}}$ について解くと、

$$\sqrt{\frac{y}{b}} = 1 - \sqrt{\frac{x}{a}}$$

となる。両辺を $2$ 乗して $y$ について整理すると、

$$y = b \left( 1 - \sqrt{\frac{x}{a}} \right)^2 = b \left( 1 - \frac{2}{\sqrt{a}}\sqrt{x} + \frac{x}{a} \right)$$

となる。

この曲線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$y=0$ とすると $1 - \sqrt{\frac{x}{a}} = 0$ より $x=a$ である。また、$y$ 軸との交点の $y$ 座標は、$x=0$ とすると $y=b$ である。したがって、求める面積 $S$ は区間 $0 \leqq x \leqq a$ における定積分として次のように計算できる。

$$S = \int_{0}^{a} b \left( 1 - \frac{2}{\sqrt{a}}x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{a} \right) dx$$

$$\begin{aligned} S &= b \left[ x - \frac{2}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{a} \\ &= b \left( a - \frac{4}{3\sqrt{a}}a\sqrt{a} + \frac{1}{2a}a^2 \right) \\ &= b \left( a - \frac{4}{3}a + \frac{1}{2}a \right) \\ &= \frac{1}{6}ab \end{aligned}$$

ここで、与えられた条件 $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 1$ より $\sqrt{b} = 1 - \sqrt{a}$ であるから、両辺を $2$ 乗して $b = (1-\sqrt{a})^2$ を得る。これを上式に代入すると、

$$S = \frac{1}{6}a (1-\sqrt{a})^2$$

展開して整理すると、

$$S = \frac{1}{6} (a - 2a\sqrt{a} + a^2)$$

となる。

(2)

(1) で求めた $S$ を $a$ の関数 $S(a)$ と考える。$0 < a < 1$ における $S(a)$ の増減を調べるために、$a$ で微分する。

$$S'(a) = \frac{1}{6} \left( 1 - 2 \cdot \frac{3}{2}a^{\frac{1}{2}} + 2a \right) = \frac{1}{6} (1 - 3\sqrt{a} + 2a)$$

これを因数分解すると、

$$S'(a) = \frac{1}{6} (2\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} - 1)$$

となる。条件より $0 < a < 1$ であるから $0 < \sqrt{a} < 1$ であり、常に $\sqrt{a} - 1 < 0$ である。したがって、$S'(a) = 0$ となるのは $2\sqrt{a} - 1 = 0$、すなわち $\sqrt{a} = \frac{1}{2}$ より $a = \frac{1}{4}$ のときのみである。

これをもとに $0 < a < 1$ における増減表を作ると以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} a & (0) & \cdots & \frac{1}{4} & \cdots & (1) \\ \hline S'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline S(a) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \end{array}$$

増減表より、$S(a)$ は $a = \frac{1}{4}$ のとき最大値をとることがわかる。このとき、最大値は、

$$S\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{24} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{96}$$

となる。

解説

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ で表される曲線は放物線の一部であり、面積が $\frac{1}{6}$ となることはよく知られている。本問はそれを一般化した曲線である。(1) において積分を愚直に計算しても手間はかからないが、$S = \frac{1}{6}ab$ という美しい結果が得られることがわかる。(2) では、微分計算において $\sqrt{a}$ のまま二次方程式のように扱って因数分解する工夫により、スムーズに極値をもとめることができる。