数学3 定積分・面積 問題 64 解説

方針・初手

無理関数を含む不定積分の計算である。 根号の中身が1次式であるため、被積分関数の分子を分母の形に合わせて変形し、$(x+1)^p$ の形に分解するか、$\sqrt{x+1}=t$ とおいて置換積分を行う。

解法1

分子の $x$ を無理理 $(x+1) - 1$ と変形し、分母と分割することで累乗の積分に帰着させる。

$$\begin{aligned} \int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx &= \int \frac{(x+1) - 1}{\sqrt{x+1}} dx \\ &= \int \left( \sqrt{x+1} - \frac{1}{\sqrt{x+1}} \right) dx \\ &= \int \left\{ (x+1)^{\frac{1}{2}} - (x+1)^{-\frac{1}{2}} \right\} dx \\ &= \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - 2(x+1)^{\frac{1}{2}} + C \quad (C\text{ は積分定数}) \\ &= \frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1} - 2\sqrt{x+1} + C \\ &= \frac{2}{3}\sqrt{x+1} \{ (x+1) - 3 \} + C \\ &= \frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1} + C \end{aligned}$$

解法2

$\sqrt{x+1} = t$ とおいて置換積分を行う。 このとき $x = t^2 - 1$ であり、両辺を微分すると $dx = 2t dt$ となる。

$$\begin{aligned} \int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx &= \int \frac{t^2 - 1}{t} \cdot 2t dt \\ &= \int (2t^2 - 2) dt \\ &= \frac{2}{3}t^3 - 2t + C \quad (C\text{ は積分定数}) \\ &= \frac{2}{3}t(t^2 - 3) + C \end{aligned}$$

$t = \sqrt{x+1}$ および $t^2 = x+1$ を代入して元に戻す。

$$\begin{aligned} \frac{2}{3}t(t^2 - 3) + C &= \frac{2}{3}\sqrt{x+1} \{ (x+1) - 3 \} + C \\ &= \frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1} + C \end{aligned}$$

解説

無理関数の不定積分における基本的な問題である。 解法1のように、分子の次数を下げたり分母と同じ形を作って分割する手法は、部分分数分解と似た発想であり、計算が非常に簡明になるため優先して検討したい。 解法2のように根号全体を文字で置く手法も、根号内の式が1次式である場合には定石となる。どちらの解法でも共通因数でくくり、因数分解されたきれいな形に整理する癖をつけておくこと。

答え

$\frac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1} + C$ （$C$ は積分定数）