数学3 定積分・面積 問題 66 解説

方針・初手

対数関数と有理関数の積の積分であるから、部分積分法の利用を第一に考える。微分して簡単になる関数として $\log x$ を選び、積分しやすい関数として $\frac{1}{(x+1)^2}$ を選んで部分積分を実行する。

解法1

求める不定積分を $I$ とおく。対数関数の真数条件より $x > 0$ である。

$$\begin{aligned} I &= \int \frac{\log x}{(x+1)^2} dx \\ &= \int (\log x) \left( -\frac{1}{x+1} \right)' dx \\ &= -\frac{\log x}{x+1} - \int \left( -\frac{1}{x+1} \right) \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= -\frac{\log x}{x+1} + \int \frac{1}{x(x+1)} dx \end{aligned}$$

ここで、右辺の積分について部分分数分解を行う。

$$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$$

であるから、これを代入して積分を計算する。

$$\begin{aligned} I &= -\frac{\log x}{x+1} + \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx \\ &= -\frac{\log x}{x+1} + \log|x| - \log|x+1| + C \quad (C は積分定数) \end{aligned}$$

$x > 0$ であるため、絶対値記号は外すことができる。

$$I = -\frac{\log x}{x+1} + \log x - \log(x+1) + C$$

対数の性質を用いて整理すると、次のようになる。

$$I = -\frac{\log x}{x+1} + \log \frac{x}{x+1} + C$$

解説

対数関数を含む不定積分の典型問題である。対数関数は積分よりも微分する方が扱いやすくなるため、部分積分法を用いるのが基本である。$\frac{1}{(x+1)^2}$ の積分が $-\frac{1}{x+1}$ であることを利用して計算を進める。

部分積分の後に出現する $\frac{1}{x(x+1)}$ の積分は、分母が因数分解された形であるため、部分分数分解を利用する定石通りの処理である。真数条件 $x>0$ から絶対値が外れることにも注意したい。

答え

$$-\frac{\log x}{x+1} + \log \frac{x}{x+1} + C \quad (C は積分定数)$$