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数学3 定積分・面積問題 67 解説

方針・初手

(1) については、対数関数と無理関数を含む合成関数の微分計算である。合成関数の微分法 $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ に従って、外側の関数から順に微分していく。

(2) については、被積分関数が (1) で微分した結果と同じ（または定数倍）になっていることに気づくことが最大のポイントである。(1) の結果を公式として利用し、微積分学の基本定理を用いて定積分の値を求める。

解法1

(1)

与えられた関数を $y = \log (x + \sqrt{x^2+1})$ とおく。合成関数の微分法を用いて微分すると、

$$\begin{aligned} y' &= \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \left( x + \sqrt{x^2+1} \right)' \\ &= \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' \right) \\ &= \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} \right) \\ &= \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \\ &= \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned}$$

となる。

(2)

(1) の結果より、関数 $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ の不定積分の一つが $\log (x + \sqrt{x^2+1})$ であることがわかる。すなわち、

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \log (x + \sqrt{x^2+1}) + C \quad (C \text{は積分定数})$$

である。これを利用して定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx &= \left[ \log \left( x + \sqrt{x^2+1} \right) \right]_1^{\sqrt{3}} \\ &= \log \left( \sqrt{3} + \sqrt{(\sqrt{3})^2+1} \right) - \log \left( 1 + \sqrt{1^2+1} \right) \\ &= \log \left( \sqrt{3} + \sqrt{4} \right) - \log \left( 1 + \sqrt{2} \right) \\ &= \log (\sqrt{3} + 2) - \log (1 + \sqrt{2}) \\ &= \log \frac{2 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2}} \end{aligned}$$

分母を有理化して変形してもよいが、そのままでも解答として成立する。

解法2

(2) のみ、(1) の誘導を用いずに置換積分で解く方法を示す。

$x = \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$ とおく。

両辺を $\theta$ で微分すると、

$$dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$$

となる。また、$x$ と $\theta$ の対応は以下のようになる。

$x$ が $1$ から $\sqrt{3}$ まで変化するとき、$\tan \theta = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{4}$、$\tan \theta = \sqrt{3}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$ であるから、 $\theta$ は $\frac{\pi}{4}$ から $\frac{\pi}{3}$ まで変化する。

定積分を $\theta$ の積分に書き換えると、

$$\begin{aligned} \int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sqrt{\tan^2 \theta + 1}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 \theta}}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \end{aligned}$$

積分区間において $\cos \theta > 0$ であるから、$\sqrt{\frac{1}{\cos^2 \theta}} = \frac{1}{\cos \theta}$ となる。

$$\begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cos \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos \theta} d\theta \\ &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos \theta}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos \theta}{1 - \sin^2 \theta} d\theta \\ &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 + \sin \theta} + \frac{1}{1 - \sin \theta} \right) \cos \theta d\theta \end{aligned}$$

ここで、$u = \sin \theta$ とおくと $du = \cos \theta d\theta$ であり、直接積分できる。

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \left[ \log (1 + \sin \theta) - \log (1 - \sin \theta) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} &= \frac{1}{2} \left[ \log \frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{1}{2} \left( \log \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} - \log \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \log \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} - \log \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \log \frac{(2 + \sqrt{3})^2}{4 - 3} - \log \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 - 1} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( 2\log (2 + \sqrt{3}) - 2\log (\sqrt{2} + 1) \right) \\ &= \log \frac{2 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2}} \end{aligned}$$

解説

本問は、微分と積分の逆演算の関係性を確認する典型的な問題である。(1) のような複雑な関数の微分結果が、シンプルで扱いやすい形になることは頻繁にある。大学入試において、(1) で微分をさせ、(2) でその形を含む関数の積分をさせるという流れは王道の誘導形式であるため、部分的な式の一致を見逃さないようにしたい。

仮に (1) の誘導がなかった場合、$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \log(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C$ は公式として覚えておくべき重要な積分結果の一つである。解法2で示した $x = a \tan \theta$ の置換や、$t = x + \sqrt{x^2+a^2}$ とおく置換（オイラー置換）によって導出できるが、計算量が膨らむため、本問のように誘導に乗ることが最も確実で時間短縮になる。