数学3 定積分・面積 問題 68 解説

方針・初手

多項式と指数関数の積の形をした不定積分であるため、部分積分法を用いる。 部分積分の公式 $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$ において、微分して次数が下がる多項式 $2x+1$ を $f(x)$ に、積分が容易な指数関数 $e^{-x}$ を $g'(x)$ に選ぶのが定石である。

解法1

積分定数を $C$ とする。 被積分関数に対して、部分積分法を適用する。

$$\int (2x+1)e^{-x} dx$$

$$= \int (2x+1)(-e^{-x})' dx$$

$$= (2x+1)(-e^{-x}) - \int (2x+1)'(-e^{-x}) dx$$

$$= -(2x+1)e^{-x} - \int 2(-e^{-x}) dx$$

$$= -(2x+1)e^{-x} + 2\int e^{-x} dx$$

$$= -(2x+1)e^{-x} - 2e^{-x} + C$$

$$= -(2x+3)e^{-x} + C$$

解説

部分積分を用いる典型的な問題である。「多項式 $\times$ 指数関数」の積分では、多項式側を微分に回すことで被積分関数の次数を下げ、積分を計算可能な形へと変形することが基本方針となる。 $e^{-x}$ の積分が $-e^{-x}$ となることの符号のミスに注意したい。計算後に得られた結果を微分して、元の被積分関数に戻るか確かめる（検算する）習慣をつけるとよい。

答え

$-(2x+3)e^{-x} + C$ （$C$ は積分定数）