数学3 定積分・面積 問題 69 解説

注意

画像(2)の文末は「$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 t}{\sin t + \cos t} dt$ を示せ。」となっているが、文脈から「$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 t}{\sin t + \cos t} dt$ を示せ。」の脱字であると判断して解答を作成した。

方針・初手

キングプロパティ（$\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$）に関連する典型問題である。

(1) は単純な積分計算である。2倍角の公式を用いるか、微分形の接触に気づけばよい。

(2) は誘導に従い置換積分を行う。$\sin(\frac{\pi}{2}-t) = \cos t$、$\cos(\frac{\pi}{2}-t) = \sin t$ を用いる。問題文には $I=$ が欠落していると思われるため、これを補って示す。

(3) は元の積分 $I$ と(2)で得られた $I$ を足し合わせ、分子の因数分解を行うことで、(1)の結果を利用できる形を作り出す。

解法1

(1) 倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いる。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2x dx$$

$$= \left[ -\frac{1}{4} \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$

$$= -\frac{1}{4} (\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{4} (-1 - 1) = \frac{1}{2}$$

(2) $x = \frac{\pi}{2} - t$ とおく。

両辺を $t$ で微分すると、$dx = -dt$ である。 また、$x$ と $t$ の積分区間の対応は以下のようになる。

$x : 0 \rightarrow \frac{\pi}{2}$ $t : \frac{\pi}{2} \rightarrow 0$

したがって、元の式に代入すると以下のようになる。

$$\begin{aligned} I &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx \\ &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin^3(\frac{\pi}{2} - t)}{\sin(\frac{\pi}{2} - t) + \cos(\frac{\pi}{2} - t)} (-1) dt \end{aligned}$$

$\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos t$、$\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin t$ であり、積分区間を反転させることで $(-1)$ を解消できるため、

$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 t}{\cos t + \sin t} dt$$

となり、示された。

(3) (2)で得られた式において、定積分の積分変数は自由に変更できるため、$t$ を $x$ に書き直すと以下のようになる。

$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x} dx$$

これと元の式 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ を辺々足し合わせる。

$$\begin{aligned} 2I &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\sin x + \cos x} dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} dx \end{aligned}$$

分子を $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を用いて因数分解する。

$$\begin{aligned} 2I &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) dx \end{aligned}$$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いると、

$$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x \cos x) dx$$

となる。ここで積分を分ける。

$$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx$$

第1項の積分は $\left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$ であり、第2項の積分は(1)の結果から $\frac{1}{2}$ である。

$$2I = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}$$

よって両辺を $2$ で割ると、

$$I = \frac{\pi - 1}{4}$$

解説

被積分関数の分母や分子が $\sin x$ と $\cos x$ の対称式に近い形をしている場合、$x = \frac{\pi}{2} - t$ の置換を行うのは非常に強力な定石である。

これは一般に定積分 $I = \int_{0}^{a} f(x) dx$ に対して $x = a - t$ とおくことで $I = \int_{0}^{a} f(a-t) dt$ が成り立つ性質の応用である。

本問のように、置換後の積分を元の積分と足し合わせることで、計算可能な形（本問では分子が因数分解されて分母が約分される形）に帰着させるパターンは頻出であるため、確実に押さえておきたい。

答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $x = \frac{\pi}{2} - t$ とおき、$dx = -dt$ となること等を利用して置換積分することで示される。

(3) $I = \frac{\pi - 1}{4}$