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数学3 定積分・面積問題 70 解説

方針・初手

(1) は $n$ に $0, 1, 2$ をそれぞれ代入し、定積分を直接計算する。$I_2$ の計算では半角の公式を利用する。 (2) は三角関数の高次式の積分における定石通り、$(\cos x)^n$ を $(\cos x)^{n-1} \cdot \cos x$ と一つ分離し、部分積分法を用いることで次数を下げる。

解法1

(1)

$I_0$ について、$n=0$ を代入すると、

$$I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^0 dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \left[ x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$$

$I_1$ について、$n=1$ を代入すると、

$$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^1 dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$$

$I_2$ について、$n=2$ を代入し、半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用いると、

$$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^2 dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$$

(2)

$n \geqq 2$ のとき、被積分関数の一部を微分形とみなして部分積分を行う。

$$\begin{aligned} I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^n dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^{n-1} \cos x dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^{n-1} (\sin x)' dx \end{aligned}$$

部分積分法を用いると、

$$\begin{aligned} I_n &= \left[ (\cos x)^{n-1} \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( (\cos x)^{n-1} \right)' \sin x dx \\ &= \left( \left(\cos \frac{\pi}{2}\right)^{n-1} \sin \frac{\pi}{2} - (\cos 0)^{n-1} \sin 0 \right) - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (n-1)(\cos x)^{n-2}(-\sin x) \sin x dx \end{aligned}$$

$n \geqq 2$ より $n-1 \geqq 1$ であるから、第1項は $0 - 0 = 0$ となる。よって、

$$I_n = (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^{n-2} \sin^2 x dx$$

ここで、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を代入する。

$$\begin{aligned} I_n &= (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^{n-2} (1 - \cos^2 x) dx \\ &= (n-1) \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^{n-2} dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^n dx \right) \end{aligned}$$

積分はそれぞれ $I_{n-2}$ と $I_n$ であるから、

$$I_n = (n-1) (I_{n-2} - I_n)$$

これを $I_n$ について整理する。

$$I_n = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n$$

$$I_n + (n-1)I_n = (n-1)I_{n-2}$$

$$n I_n = (n-1)I_{n-2}$$

両辺を $n$（$n \geqq 2$ より $n \neq 0$）で割ると、求める漸化式が得られる。

$$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$$

解説

$\sin^n x$ や $\cos^n x$ の定積分における漸化式（ウォリス積分）の導出という非常に重要な典型問題である。 (2)で $\cos x$ を一つ分離し、$(\sin x)'$ とみなして部分積分を行うのが定石である。この結果は公式として暗記しておく価値があるほど頻出する。$I_n$ の値は $n$ の偶奇によって異なる形に展開されていくことも合わせて理解しておきたい。