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数学3 定積分・面積問題 71 解説

方針・初手

(1)は被積分関数が $\frac{1}{1+t^2}$ の形をしているため、指示通り $t = \tan \theta$ と置換することで被積分関数が整理される定石の計算である。 (2)は与えられた関係式 $u = \frac{2t-1}{t+2}$ を用いて定積分を置換積分する。示した等式を用いると、$f\left(\frac{1}{3}\right)$ が区間 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ の積分に変換され、$f\left(\frac{1}{2}\right)$ と足し合わせることで積分区間が接続されることに気づくのが鍵となる。

解法1

(1)

$$f(1) = \int_0^1 \frac{1}{1+t^2} dt$$

$t = \tan \theta$ とおくと、

$$\frac{dt}{d\theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$

より $dt = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$ である。 $t$ と $\theta$ の対応は以下のようになる。

$t$ : $0 \to 1$ $\theta$ : $0 \to \frac{\pi}{4}$

これを用いて置換積分を行う。

$$\begin{aligned} f(1) &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 d\theta \\ &= \left[ \theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

(2)

$u = \frac{2t-1}{t+2}$ の両辺を $t$ で微分する。

$$\begin{aligned} \frac{du}{dt} &= \frac{2(t+2) - (2t-1) \cdot 1}{(t+2)^2} \\ &= \frac{2t+4 - 2t + 1}{(t+2)^2} \\ &= \frac{5}{(t+2)^2} \end{aligned}$$

よって、$du = \frac{5}{(t+2)^2} dt$ である。また、$1+u^2$ を $t$ で表す。

$$\begin{aligned} 1+u^2 &= 1 + \left( \frac{2t-1}{t+2} \right)^2 \\ &= \frac{(t+2)^2 + (2t-1)^2}{(t+2)^2} \\ &= \frac{t^2+4t+4 + 4t^2-4t+1}{(t+2)^2} \\ &= \frac{5t^2+5}{(t+2)^2} \\ &= \frac{5(t^2+1)}{(t+2)^2} \end{aligned}$$

積分区間の対応を調べる。$u$ の積分区間 $0 \to \frac{1}{3}$ に対応する $t$ を求める。 $u = 0$ のとき、$\frac{2t-1}{t+2} = 0$ より $t = \frac{1}{2}$ $u = \frac{1}{3}$ のとき、$\frac{2t-1}{t+2} = \frac{1}{3}$ より $6t-3 = t+2$、すなわち $5t = 5$ から $t = 1$ よって、$u$ と $t$ の対応は以下のようになる。

$u$ : $0 \to \frac{1}{3}$ $t$ : $\frac{1}{2} \to 1$

これらを用いて、左辺の定積分を $t$ の積分に置換する。

$$\begin{aligned} \int_0^{\frac{1}{3}} \frac{1}{1+u^2} du &= \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{(t+2)^2}{5(t^2+1)} \cdot \frac{5}{(t+2)^2} dt \\ &= \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{1+t^2} dt \end{aligned}$$

以上により、$\int_0^{\frac{1}{3}} \frac{1}{1+u^2} du = \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{1+t^2} dt$ が成り立つことが示された。

次に、$f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{3}\right)$ の値を求める。

$$f\left(\frac{1}{3}\right) = \int_0^{\frac{1}{3}} \frac{1}{1+t^2} dt$$

定積分の値は積分変数によらないため、変数を $u$ に替えてもよい。

$$f\left(\frac{1}{3}\right) = \int_0^{\frac{1}{3}} \frac{1}{1+u^2} du$$

前半で示した等式を用いると、次のように書き換えられる。

$$f\left(\frac{1}{3}\right) = \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{1+t^2} dt$$

したがって、求める値は以下のようになる。

$$\begin{aligned} f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{3}\right) &= \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+t^2} dt + \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{1+t^2} dt \\ &= \int_0^1 \frac{1}{1+t^2} dt \\ &= f(1) \end{aligned}$$

(1)の結果から $f(1) = \frac{\pi}{4}$ であるため、

$$f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{4}$$

解説

(1)の $t = \tan \theta$ とおく置換積分は、分母に $x^2+a^2$ の形を含む定積分の標準的な解法である。 (2)では、一見複雑な置換積分を要求されているように見えるが、指示通りに計算を進めれば被積分関数が綺麗に約分される。さらに、示された等式が表す積分の値がちょうど $f\left(\frac{1}{3}\right)$ に等しいことに気づくことで、定積分の性質 $\int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx = \int_a^c f(x)dx$ を利用して計算の手間を省くことができる構成となっている。なお、本問の背景には逆正接関数（アークタンジェント）の加法定理 $\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ がある。