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数学3 定積分・面積問題 72 解説

方針・初手

円$C$の中心を原点、初期状態の点Pの位置を $(10, 0)$ と設定し、動円$D$が円$C$の周上を転がる角 $\theta$ をパラメータとして点Pの座標 $(x, y)$ を立式する。滑らずに転がる条件から、動円の中心の回転角と動円自体の回転角の関係を求め、点Pの軌跡（ハイポサイクロイド）を媒介変数表示する。次に、点Pが再び円$C$に接するまでの $\theta$ の範囲を求め、定積分を用いて曲線が分割する面積を計算する。

解法1

円$C$の中心を原点Oとする。円$C$は $x^2+y^2=100$ である。 $\theta=0$ のとき、動円$D$と円$C$の接点を $T_0(10, 0)$ とし、点Pは $T_0$ の位置にあるとする。動円$D$の中心が原点Oの周りを角 $\theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) だけ回転したとする。円$C$の半径は10、動円$D$の半径は3であるから、動円$D$の中心Aの座標は $(7\cos\theta, 7\sin\theta)$ となる。このときの円$C$と動円$D$の接点を $T$ とすると、接点 $T$ の座標は $(10\cos\theta, 10\sin\theta)$ であり、弧 $T_0 T$ の長さは $10\theta$ である。動円$D$は滑らずに転がるため、動円上の弧 $PT$ の長さも $10\theta$ である。したがって、動円$D$の中心Aから見た弧 $PT$ の中心角は $\frac{10\theta}{3}$ となる。動円が内接して転がるとき、点Pは接点 $T$ の位置から動円の周上を時計回りに距離 $10\theta$ だけ戻った位置にある。ベクトル $\vec{AT}$ の $x$軸正の向きとなす角は $\theta$ であるから、ベクトル $\vec{AP}$ の $x$軸正の向きとなす角は $\theta - \frac{10}{3}\theta = -\frac{7}{3}\theta$ である。よって、点Pの座標 $(x, y)$ は以下のように媒介変数表示される。

$$\begin{cases} x = 7\cos\theta + 3\cos\left(-\frac{7}{3}\theta\right) = 7\cos\theta + 3\cos\frac{7}{3}\theta \\ y = 7\sin\theta + 3\sin\left(-\frac{7}{3}\theta\right) = 7\sin\theta - 3\sin\frac{7}{3}\theta \end{cases}$$

点Pが再び円$C$の周上にくるのは、点Pが接点 $T$ に一致するときである。これは、動円上を転がった距離 $10\theta$ が動円の円周 $2\pi \cdot 3 = 6\pi$ の整数倍になるときに相当する。 $\theta > 0$ において初めて接するのは $10\theta = 6\pi$、すなわち $\theta = \frac{3}{5}\pi$ のときである。このとき、点Pの座標を Q とすると、Q は $(10\cos\frac{3}{5}\pi, 10\sin\frac{3}{5}\pi)$ となる。点Pが描く曲線を $K$ とし、$0 \le \theta \le \frac{3}{5}\pi$ の範囲における曲線 $K$ の概形を調べる。

$$\begin{aligned} \frac{dx}{d\theta} &= -7\sin\theta - 7\sin\frac{7}{3}\theta \\ &= -14\sin\frac{5}{3}\theta \cos\frac{2}{3}\theta \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{dy}{d\theta} &= 7\cos\theta - 7\cos\frac{7}{3}\theta \\ &= 14\sin\frac{5}{3}\theta \sin\frac{2}{3}\theta \end{aligned}$$

$0 < \theta < \frac{3}{5}\pi$ のとき、$0 < \frac{5}{3}\theta < \pi$、$0 < \frac{2}{3}\theta < \frac{2}{5}\pi$ であるから、$\sin\frac{5}{3}\theta > 0$、$\cos\frac{2}{3}\theta > 0$、$\sin\frac{2}{3}\theta > 0$ となる。したがって、この区間において $\frac{dx}{d\theta} < 0$、$\frac{dy}{d\theta} > 0$ であり、$x$ は単調減少、$y$ は単調増加する。

曲線 $K$ と円弧 $T_0 Q$ で囲まれる領域の面積を $S_1$ とする。点 Q の $x$ 座標を $x_Q = 10\cos\frac{3}{5}\pi$ とおく。円弧 $y = \sqrt{100-x^2}$ と $x$軸、および直線 $x = x_Q$ で囲まれる面積を $S_{\text{arc}}$ とすると、これは中心角 $\frac{3}{5}\pi$ の扇形の面積と三角形の面積の和である。

$$\begin{aligned} S_{\text{arc}} &= \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \frac{3}{5}\pi + \frac{1}{2} (-x_Q) \cdot 10\sin\frac{3}{5}\pi \\ &= 30\pi - 50\cos\frac{3}{5}\pi \sin\frac{3}{5}\pi \\ &= 30\pi - 25\sin\frac{6}{5}\pi \end{aligned}$$

また、曲線 $K$ と $x$軸、および直線 $x = x_Q$ で囲まれる面積を $S_K'$ とすると、置換積分により次のように計算できる。

$$S_K' = \int_{x_Q}^{10} y \, dx = \int_{\frac{3}{5}\pi}^{0} y \frac{dx}{d\theta} d\theta = - \int_{0}^{\frac{3}{5}\pi} y \frac{dx}{d\theta} d\theta$$

ここで被積分関数を計算する。

$$\begin{aligned} y \frac{dx}{d\theta} &= \left( 7\sin\theta - 3\sin\frac{7}{3}\theta \right) \left( -7\sin\theta - 7\sin\frac{7}{3}\theta \right) \\ &= -49\sin^2\theta - 28\sin\theta \sin\frac{7}{3}\theta + 21\sin^2\frac{7}{3}\theta \end{aligned}$$

積和の公式等を用いて変形する。

$$\begin{aligned} \sin^2\theta &= \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \\ \sin^2\frac{7}{3}\theta &= \frac{1 - \cos\frac{14}{3}\theta}{2} \\ \sin\theta \sin\frac{7}{3}\theta &= \frac{1}{2} \left( \cos\frac{4}{3}\theta - \cos\frac{10}{3}\theta \right) \end{aligned}$$

これらを代入して整理する。

$$y \frac{dx}{d\theta} = -14 + \frac{49}{2}\cos 2\theta - 14\cos\frac{4}{3}\theta + 14\cos\frac{10}{3}\theta - \frac{21}{2}\cos\frac{14}{3}\theta$$

区間 $[0, \frac{3}{5}\pi]$ で積分する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{3}{5}\pi} y \frac{dx}{d\theta} d\theta &= \left[ -14\theta + \frac{49}{4}\sin 2\theta - \frac{21}{2}\sin\frac{4}{3}\theta + \frac{21}{5}\sin\frac{10}{3}\theta - \frac{9}{4}\sin\frac{14}{3}\theta \right]_{0}^{\frac{3}{5}\pi} \end{aligned}$$

各項の値を計算する。 $\sin\left( 2 \cdot \frac{3}{5}\pi \right) = \sin\frac{6}{5}\pi$ $\sin\left( \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5}\pi \right) = \sin\frac{4}{5}\pi = -\sin\frac{6}{5}\pi$ $\sin\left( \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5}\pi \right) = \sin 2\pi = 0$ $\sin\left( \frac{14}{3} \cdot \frac{3}{5}\pi \right) = \sin\frac{14}{5}\pi = \sin\left( 3\pi - \frac{1}{5}\pi \right) = \sin\frac{1}{5}\pi = -\sin\frac{6}{5}\pi$

これらを代入する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{3}{5}\pi} y \frac{dx}{d\theta} d\theta &= -14 \cdot \frac{3}{5}\pi + \frac{49}{4}\sin\frac{6}{5}\pi - \frac{21}{2}\left( -\sin\frac{6}{5}\pi \right) + 0 - \frac{9}{4}\left( -\sin\frac{6}{5}\pi \right) \\ &= -\frac{42}{5}\pi + \left( \frac{49}{4} + \frac{42}{4} + \frac{9}{4} \right) \sin\frac{6}{5}\pi \\ &= -\frac{42}{5}\pi + 25\sin\frac{6}{5}\pi \end{aligned}$$

したがって、

$$S_K' = \frac{42}{5}\pi - 25\sin\frac{6}{5}\pi$$

面積 $S_1$ は以下のようになる。

$$\begin{aligned} S_1 &= S_{\text{arc}} - S_K' \\ &= \left( 30\pi - 25\sin\frac{6}{5}\pi \right) - \left( \frac{42}{5}\pi - 25\sin\frac{6}{5}\pi \right) \\ &= 30\pi - \frac{42}{5}\pi \\ &= \frac{108}{5}\pi \end{aligned}$$

もう一方の面積を $S_2$ とすると、円$C$全体の面積 $100\pi$ から $S_1$ を引いたものである。

$$\begin{aligned} S_2 &= 100\pi - \frac{108}{5}\pi \\ &= \frac{392}{5}\pi \end{aligned}$$

解法2

動径が掃く面積の公式を用いた別解を示す。点Pの極座標を $(r, \varphi)$ とすると、微小な偏角の増分 $d\varphi$ に対して動径が掃く面積は $\frac{1}{2}r^2 d\varphi$ である。 $r^2 d\varphi = (x^2+y^2) d\left( \arctan\frac{y}{x} \right) = x dy - y dx$ の関係から、曲線 $K$ と2つの動径（$\theta=0$ および $\theta=\frac{3}{5}\pi$）で囲まれる領域の面積 $S_K$ は以下の定積分で求まる。

$$S_K = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{3}{5}\pi} \left( x \frac{dy}{d\theta} - y \frac{dx}{d\theta} \right) d\theta$$

被積分関数を計算する。

$$\begin{aligned} x \frac{dy}{d\theta} &= \left( 7\cos\theta + 3\cos\frac{7}{3}\theta \right) \left( 7\cos\theta - 7\cos\frac{7}{3}\theta \right) \\ &= 49\cos^2\theta - 28\cos\theta \cos\frac{7}{3}\theta - 21\cos^2\frac{7}{3}\theta \end{aligned}$$

辺々引いて整理する。

$$\begin{aligned} x \frac{dy}{d\theta} - y \frac{dx}{d\theta} &= 49(\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 28\left( \cos\theta \cos\frac{7}{3}\theta - \sin\theta \sin\frac{7}{3}\theta \right) - 21\left( \cos^2\frac{7}{3}\theta + \sin^2\frac{7}{3}\theta \right) \\ &= 49 - 28\cos\left( \theta + \frac{7}{3}\theta \right) - 21 \\ &= 28 \left( 1 - \cos\frac{10}{3}\theta \right) \end{aligned}$$

これは常に非負であるため、偏角は単調に増加し、上記の面積公式がそのまま適用できる。

$$\begin{aligned} S_K &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{3}{5}\pi} 28 \left( 1 - \cos\frac{10}{3}\theta \right) d\theta \\ &= 14 \left[ \theta - \frac{3}{10}\sin\frac{10}{3}\theta \right]_{0}^{\frac{3}{5}\pi} \\ &= 14 \left( \frac{3}{5}\pi - \frac{3}{10}\sin 2\pi \right) \\ &= \frac{42}{5}\pi \end{aligned}$$

この面積 $S_K$ は、円$C$の扇形（中心角 $\frac{3}{5}\pi$）の内部において、原点と曲線 $K$ で囲まれた部分の面積である。したがって、曲線 $K$ と円弧で囲まれた部分の面積 $S_1$ は、扇形の面積 $30\pi$ から $S_K$ を引いて求まる。

$$S_1 = 30\pi - \frac{42}{5}\pi = \frac{108}{5}\pi$$

もう一方の面積 $S_2$ は、円$C$の面積 $100\pi$ から $S_1$ を引いて求まる。

$$S_2 = 100\pi - \frac{108}{5}\pi = \frac{392}{5}\pi$$

解説

ハイポサイクロイド（内サイクロイド）の媒介変数表示を自力で構築し、そこから面積を求める典型的かつ重厚な求積問題である。動円が転がる距離から回転角を正しく把握し、点Pの座標を正確に導出できるかが第一の関門となる。面積計算においては、通常の $x, y$ 座標での定積分（解法1）でも完遂可能であるが、計算量は非常に多くなる。積分時に現れる三角関数の各項が最終的にきれいに相殺される点に注意して正確に計算を進める必要がある。一方、極座標の面積公式あるいは動径が掃く面積の考え方（解法2）を用いると、加法定理により被積分関数が劇的に簡略化され、計算ミスを大幅に減らすことができる。サイクロイド系の曲線と原点とを結ぶ面積を求める際には、この手法が極めて有効である。