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数学3 定積分・面積問題 73 解説

方針・初手

定積分 $\int_1^e f(t) \log t \, dt$ は $t$ に無関係な定数であるため、これを $C$（定数）とおくことから始める。関数 $f(x)$ を $C$ を用いて表し、それを元の定積分の式に代入することで $C$ の値を決定する、いわゆる定数型の積分方程式の定石に従う。

解法1

(1)

$\int_1^e f(t) \log t \, dt = C$（$C$ は定数）とおくと、与えられた等式から $f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = x^2 \log x - C$$

これを $C$ を定義した式に代入する。

$$C = \int_1^e (t^2 \log t - C) \log t \, dt$$

$$C = \int_1^e t^2 (\log t)^2 \, dt - C \int_1^e \log t \, dt$$

ここで、2つの定積分の値をそれぞれ計算する。まず、部分積分法を用いて $\int_1^e \log t \, dt$ を求める。

$$\int_1^e \log t \, dt = \Big[ t \log t \Big]_1^e - \int_1^e t \cdot \frac{1}{t} \, dt = e - \Big[ t \Big]_1^e = e - (e - 1) = 1$$

次に、もう一方の定積分 $\int_1^e t^2 (\log t)^2 \, dt$ も部分積分法を繰り返し用いて計算する。

$$\int_1^e t^2 (\log t)^2 \, dt = \int_1^e \left( \frac{t^3}{3} \right)' (\log t)^2 \, dt$$

$$= \left[ \frac{t^3}{3} (\log t)^2 \right]_1^e - \int_1^e \frac{t^3}{3} \cdot 2(\log t) \cdot \frac{1}{t} \, dt$$

$$= \frac{e^3}{3} - \frac{2}{3} \int_1^e t^2 \log t \, dt$$

さらに残った定積分を部分積分する。

$$\int_1^e t^2 \log t \, dt = \int_1^e \left( \frac{t^3}{3} \right)' \log t \, dt$$

$$= \left[ \frac{t^3}{3} \log t \right]_1^e - \int_1^e \frac{t^3}{3} \cdot \frac{1}{t} \, dt$$

$$= \frac{e^3}{3} - \left[ \frac{t^3}{9} \right]_1^e = \frac{e^3}{3} - \left( \frac{e^3}{9} - \frac{1}{9} \right) = \frac{2e^3 + 1}{9}$$

これを代入して、最初の定積分の値を求める。

$$\int_1^e t^2 (\log t)^2 \, dt = \frac{e^3}{3} - \frac{2}{3} \left( \frac{2e^3 + 1}{9} \right) = \frac{9e^3 - 4e^3 - 2}{27} = \frac{5e^3 - 2}{27}$$

これらの結果を $C$ の方程式に代入する。

$$C = \frac{5e^3 - 2}{27} - C \cdot 1$$

$$2C = \frac{5e^3 - 2}{27}$$

$$C = \frac{5e^3 - 2}{54}$$

したがって、求める関数 $f(x)$ は次のようになる。

$$f(x) = x^2 \log x - \frac{5e^3 - 2}{54}$$

(2)

(1)で求めた $f(x)$ を微分する。$C$ は定数であるから、導関数に影響しない。

$$f'(x) = (x^2)' \log x + x^2 (\log x)' = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2\log x + 1)$$

$x > 0$ において $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$2\log x + 1 = 0$$

$$\log x = -\frac{1}{2}$$

$$x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$$

$0 < x < e^{-\frac{1}{2}}$ のとき $\log x < -\frac{1}{2}$ より $f'(x) < 0$ であり、$x > e^{-\frac{1}{2}}$ のとき $\log x > -\frac{1}{2}$ より $f'(x) > 0$ である。よって、$f(x)$ は $x = e^{-\frac{1}{2}}$ で極小となる。

(3)

$f'(x) = 2x \log x + x$ をさらに微分して、第2次導関数を求める。

$$f''(x) = (2x)' \log x + 2x(\log x)' + (x)' = 2\log x + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2\log x + 3$$

$f''(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$2\log x + 3 = 0$$

$$\log x = -\frac{3}{2}$$

$$x = e^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{e\sqrt{e}}$$

$x = e^{-\frac{3}{2}}$ の前後で $f''(x)$ の符号は負から正に変化するため、この点は確かに変曲点である。よって、変曲点の $x$ 座標は $e^{-\frac{3}{2}}$ となる。

解説

定積分で表された関数（積分方程式）に関する標準的な問題である。積分区間が両端とも定数であるため、定積分全体を1つの定数と置いて処理する「定数型」の解法を用いる。 (1)では、部分積分を繰り返し用いて $\int t^2 (\log t)^2 \, dt$ などの定積分を正確に計算する力が求められる。計算ミスに注意したい。 (2)および(3)は、関数の微分計算の基本を確認する問題であり、対数関数の微分と極値、変曲点の定義を正しく理解していれば容易に解答できる。