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数学3 定積分・面積問題 75 解説

方針・初手

絶対値を含む定積分は、積分区間内で絶対値の中身の符号がどのように変化するかを調べ、区間を分割して絶対値を外すのが基本である。(2)では変数 $x$ が積分区間内にあるため、積分区間を $[1, x]$ と $[x, 2]$ に分けて計算する。その後は、微分を用いて関数の増減表を作成し、最大値と最小値を求める。値の比較では、問題文で与えられた自然対数の底 $e$ の評価を利用する。

解法1

(1)

$f(1)$ について、定義式より以下のようになる。

$$f(1) = \int_{1}^{2} |\log t - \log 1| dt = \int_{1}^{2} |\log t| dt$$

積分区間 $1 \leqq t \leqq 2$ において $\log t \geqq 0$ であるから、そのまま絶対値を外して計算する。

$$\begin{aligned} f(1) &= \int_{1}^{2} \log t dt \\ &= \Big[ t \log t - t \Big]_{1}^{2} \\ &= (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) \\ &= 2 \log 2 - 1 \end{aligned}$$

$f(2)$ についても同様に定義式に代入する。

$$f(2) = \int_{1}^{2} |\log t - \log 2| dt$$

積分区間 $1 \leqq t \leqq 2$ において $\log t \leqq \log 2$ であるから、$\log t - \log 2 \leqq 0$ となる。符号を反転させて絶対値を外す。

$$\begin{aligned} f(2) &= \int_{1}^{2} -(\log t - \log 2) dt \\ &= \Big[ - (t \log t - t) + t \log 2 \Big]_{1}^{2} \\ &= \left\{ -(2 \log 2 - 2) + 2 \log 2 \right\} - \left\{ -(1 \log 1 - 1) + 1 \log 2 \right\} \\ &= 2 - (1 + \log 2) \\ &= 1 - \log 2 \end{aligned}$$

(2)

$1 \leqq x \leqq 2$ のとき、積分区間 $1 \leqq t \leqq 2$ において、$\log t - \log x$ の符号は $t = x$ を境に変わる。

$1 \leqq t \leqq x$ のとき、$\log t \leqq \log x$ より $|\log t - \log x| = -(\log t - \log x) = \log x - \log t$

$x \leqq t \leqq 2$ のとき、$\log t \geqq \log x$ より $|\log t - \log x| = \log t - \log x$

したがって、積分を2つの区間に分けて実行する。

$$\begin{aligned} f(x) &= \int_{1}^{x} (\log x - \log t) dt + \int_{x}^{2} (\log t - \log x) dt \\ &= \Big[ t \log x - (t \log t - t) \Big]_{1}^{x} + \Big[ (t \log t - t) - t \log x \Big]_{x}^{2} \\ &= \left\{ (x \log x - x \log x + x) - (1 \log x - 1 \log 1 + 1) \right\} \\ &\quad + \left\{ (2 \log 2 - 2 - 2 \log x) - (x \log x - x - x \log x) \right\} \\ &= \left\{ x - (\log x + 1) \right\} + \left\{ 2 \log 2 - 2 - 2 \log x - (-x) \right\} \\ &= x - \log x - 1 + 2 \log 2 - 2 - 2 \log x + x \\ &= 2x - 3 \log x + 2 \log 2 - 3 \end{aligned}$$

(3)

(2)で求めた $f(x)$ を微分して増減を調べる。

$$f'(x) = 2 - \frac{3}{x} = \frac{2x - 3}{x}$$

$1 \leqq x \leqq 2$ において、$f'(x) = 0$ となるのは $x = \frac{3}{2}$ のときである。この区間における増減表は以下のようになる。

$x$	$1$	$\cdots$	$\frac{3}{2}$	$\cdots$	$2$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$2 \log 2 - 1$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$1 - \log 2$

増減表より、最小値は $x = \frac{3}{2}$ のときであり、その値は以下の通りである。

$$\begin{aligned} f\left(\frac{3}{2}\right) &= 2 \cdot \frac{3}{2} - 3 \log \frac{3}{2} + 2 \log 2 - 3 \\ &= 3 - 3(\log 3 - \log 2) + 2 \log 2 - 3 \\ &= -3 \log 3 + 5 \log 2 \\ &= 5 \log 2 - 3 \log 3 \end{aligned}$$

最大値は $f(1)$ と $f(2)$ のうち大きい方であるため、両者の差をとって比較する。

$$\begin{aligned} f(1) - f(2) &= (2 \log 2 - 1) - (1 - \log 2) \\ &= 3 \log 2 - 2 \\ &= \log 2^3 - \log e^2 \\ &= \log 8 - \log e^2 \end{aligned}$$

ここで、自然対数の底 $e$ は $2.7 < e < 2.8$ を満たすので、これを2乗して評価する。

$$e^2 < (2.8)^2 = 7.84 < 8$$

底が $e > 1$ であるから、$\log e^2 < \log 8$ となる。

$$\log 8 - \log e^2 > 0$$

よって、$f(1) > f(2)$ である。したがって、最大値は $x = 1$ のときである。

解説

絶対値のついた定積分は、被積分関数の符号が変わる点で積分区間を分割して計算する。(2)のように変数 $x$ が積分区間内に含まれる場合でも、区間を $[1, x]$ と $[x, 2]$ に分けて計算するという基本方針は変わらない。対数の積分公式 $\int \log t dt = t \log t - t + C$ は計算をスムーズにするために覚えておくべきである。また、(3)で極値をとる $x$ の値や端点の値を比較する際に、与えられた $e$ の近似値を利用して対数の大小関係を判定する処理は、難関大でよく見られる重要な手法である。