数学3 定積分・面積 問題 83 解説

方針・初手

対数関数の積分は、底の変換公式を用いて自然対数に変換してから部分積分を行うのが基本である。定積分の値を正確に計算したのち、問題文で与えられた $\log_{10} e$ の値の範囲を用いて、積分の値がどの範囲に収まるかを評価する。

解法1

求める定積分を $I$ とおく。

$$I = \int_{10}^{100} \log_{10} x dx$$

底の変換公式を用いて、底を自然対数の底 $e$ に変換する。

$$\log_{10} x = \frac{\log_e x}{\log_e 10} = (\log_{10} e) \log_e x$$

これを用いて積分を計算する。

$$\begin{aligned} I &= \int_{10}^{100} (\log_{10} e) \log_e x dx \\ &= (\log_{10} e) \int_{10}^{100} \log_e x dx \end{aligned}$$

ここで、自然対数の積分 $\int \log_e x dx = x \log_e x - x + C$ を用いると、定積分の部分は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int_{10}^{100} \log_e x dx &= \left[ x \log_e x - x \right]_{10}^{100} \\ &= (100 \log_e 100 - 100) - (10 \log_e 10 - 10) \\ &= (100 \cdot 2 \log_e 10 - 100) - 10 \log_e 10 + 10 \\ &= 200 \log_e 10 - 100 - 10 \log_e 10 + 10 \\ &= 190 \log_e 10 - 90 \end{aligned}$$

したがって、積分の値 $I$ は次のようになる。

$$\begin{aligned} I &= (\log_{10} e) (190 \log_e 10 - 90) \\ &= 190 \log_{10} e \cdot \log_e 10 - 90 \log_{10} e \end{aligned}$$

ここで、$\log_{10} e \cdot \log_e 10 = 1$ であるから、次のように簡略化できる。

$$I = 190 - 90 \log_{10} e$$

次に、問題文で与えられた不等式 $0.434 < \log_{10} e < 0.435$ を用いて、$I$ の値の範囲を評価する。 各辺に $-90$ を掛けると、不等号の向きが反転する。

$$-90 \times 0.435 < -90 \log_{10} e < -90 \times 0.434$$

$$-39.15 < -90 \log_{10} e < -39.06$$

各辺に $190$ を加える。

$$190 - 39.15 < 190 - 90 \log_{10} e < 190 - 39.06$$

$$150.85 < I < 150.94$$

この結果より、定積分 $I$ の値はおよそ $150.8$ から $150.9$ の間にあることがわかる。 条件 $n < I$ を満たす最大の自然数 $n$ は、この範囲より小さい最大の整数である。

よって、$n = 150$ となる。

解説

対数関数の積分計算と不等式の評価という、数学III（あるいは微積分）の基本的なスキルを問う標準的な問題である。 自然対数以外の底を持つ対数関数を積分する際は、底の変換公式で底を $e$ に直すのが鉄則である。また、$\log_a b \cdot \log_b a = 1$ という対数の性質に気づくことで、計算式が非常にすっきりとまとまる。最後の値の評価においては、負の数を掛けた際に不等号の向きが変わる点に注意し、ケアレスミスを防ぎたい。

答え

$150$