数学3 定積分・面積 問題 84 解説

方針・初手

微積分学の基本定理を用いて $f'(x)$ を求め、合成関数の微分法を用いて $f\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)$ の導関数を計算する。

解法1

$g(x) = f\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)$ とおく。

微積分学の基本定理より、$f(x) = \int_0^x \frac{1}{1+2t^2} dt$ を微分すると、

$$f'(x) = \frac{1}{1+2x^2}$$

となる。

合成関数の微分法より、$g(x)$ の導関数 $g'(x)$ は次のように計算できる。

$$g'(x) = f'\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)'$$

ここで、$f'(x)$ の式に $x = \frac{\tan x}{\sqrt{2}}$ を代入すると、

$$\begin{aligned} f'\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) &= \frac{1}{1+2\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)^2} \\ &= \frac{1}{1+\tan^2 x} \end{aligned}$$

三角関数の相互関係 $1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ を用いると、

$$f'\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) = \cos^2 x$$

となる。

また、$\frac{\tan x}{\sqrt{2}}$ の導関数は、

$$\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)' = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

である。

これらを $g'(x)$ の式に代入すると、

$$\begin{aligned} g'(x) &= \cos^2 x \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

となり、導関数は $x$ によらない定数 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ となることが示された。

解説

定積分で表された関数の微分と、合成関数の微分を組み合わせた基本的な計算問題である。$\frac{d}{dx}\int_a^x h(t) dt = h(x)$ であること（微積分学の基本定理）と、$\{h(k(x))\}' = h'(k(x))k'(x)$ であること（合成関数の微分法）を正確に用いることができれば、計算過程で自然に $\cos^2 x$ が約分されて定数となる。

答え

$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$