数学3 定積分・面積 問題 85 解説

方針・初手

(1) は定積分における対称性を利用する。積分変数を $t = x - \frac{\pi}{2}$ あるいは $t = \pi - x$ とおくことで証明できる。

(2) は (1) の結果を利用する。被積分関数の $x$ 以外の部分を $f(x)$ とおき、それが (1) の条件 $f(\pi - x) = f(x)$ を満たすことを確認する。その後、定積分の計算に帰着させる。

解法1

(1)

$t = x - \frac{\pi}{2}$ とおく。

$x = t + \frac{\pi}{2}$ であり、$dx = dt$ である。

積分区間は $x : 0 \to \pi$ のとき $t : -\frac{\pi}{2} \to \frac{\pi}{2}$ となる。

問題の条件 $f(\pi - x) = f(x)$ に $x = t + \frac{\pi}{2}$ を代入すると、

$$f\left(\pi - \left(t + \frac{\pi}{2}\right)\right) = f\left(t + \frac{\pi}{2}\right)$$

すなわち、

$$f\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = f\left(\frac{\pi}{2} + t\right) \quad \cdots (*)$$

が成り立つ。

与式の左辺の積分変数を $t$ に置換すると、

$$\int_0^\pi \left(x - \frac{\pi}{2}\right) f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} t f\left(t + \frac{\pi}{2}\right) dt$$

ここで、$g(t) = t f\left(t + \frac{\pi}{2}\right)$ とおくと、$(*)$ より、

$$\begin{aligned} g(-t) &= (-t) f\left(-t + \frac{\pi}{2}\right) \\ &= -t f\left(\frac{\pi}{2} - t\right) \\ &= -t f\left(t + \frac{\pi}{2}\right) \\ &= -g(t) \end{aligned}$$

となり、$g(t)$ は奇関数である。

積分区間 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ は原点について対称であるから、奇関数の定積分は $0$ となる。

したがって、

$$\int_0^\pi \left(x - \frac{\pi}{2}\right) f(x) dx = 0$$

が成り立つ。

(2)

$$f(x) = \frac{\sin^3 x}{4 - \cos^2 x}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} f(\pi - x) &= \frac{\sin^3(\pi - x)}{4 - \cos^2(\pi - x)} \\ &= \frac{\sin^3 x}{4 - (-\cos x)^2} \\ &= \frac{\sin^3 x}{4 - \cos^2 x} \\ &= f(x) \end{aligned}$$

となり、$f(x)$ は (1) の条件をみたす。

(1) の結果より、

$$\int_0^\pi \left(x - \frac{\pi}{2}\right) \frac{\sin^3 x}{4 - \cos^2 x} dx = 0$$

すなわち、

$$\int_0^\pi \frac{x \sin^3 x}{4 - \cos^2 x} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin^3 x}{4 - \cos^2 x} dx$$

が成り立つ。求める定積分を $J$ とおくと、

$$J = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{(1 - \cos^2 x) \sin x}{4 - \cos^2 x} dx$$

と変形できる。

ここで、$u = \cos x$ とおくと、$du = -\sin x dx$ である。

積分区間は $x : 0 \to \pi$ のとき $u : 1 \to -1$ となる。

$$\begin{aligned} \int_0^\pi \frac{(1 - \cos^2 x) \sin x}{4 - \cos^2 x} dx &= \int_1^{-1} \frac{1 - u^2}{4 - u^2} (-du) \\ &= \int_{-1}^1 \frac{1 - u^2}{4 - u^2} du \\ &= 2 \int_0^1 \frac{1 - u^2}{4 - u^2} du \quad (\text{偶関数より}) \end{aligned}$$

被積分関数を変形する。

$$\frac{1 - u^2}{4 - u^2} = \frac{(4 - u^2) - 3}{4 - u^2} = 1 - \frac{3}{4 - u^2}$$

さらに部分分数分解を行うと、

$$\frac{3}{4 - u^2} = \frac{3}{(2 - u)(2 + u)} = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2 - u} + \frac{1}{2 + u} \right)$$

したがって、定積分の値は以下のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{1 - u^2}{4 - u^2} du &= \int_0^1 \left\{ 1 - \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2 - u} + \frac{1}{2 + u} \right) \right\} du \\ &= \left[ u - \frac{3}{4} \big( -\log(2 - u) + \log(2 + u) \big) \right]_0^1 \\ &= \left[ u - \frac{3}{4} \log \frac{2 + u}{2 - u} \right]_0^1 \\ &= \left( 1 - \frac{3}{4} \log 3 \right) - (0 - 0) \\ &= 1 - \frac{3}{4} \log 3 \end{aligned}$$

よって、求める定積分 $J$ は、

$$\begin{aligned} J &= \frac{\pi}{2} \cdot 2 \left( 1 - \frac{3}{4} \log 3 \right) \\ &= \pi - \frac{3}{4} \pi \log 3 \end{aligned}$$

解法2

(1) の別解

$$I = \int_0^\pi \left(x - \frac{\pi}{2}\right) f(x) dx$$

とおく。

$t = \pi - x$ とおくと、$x = \pi - t$、$dx = -dt$ である。

積分区間は $x : 0 \to \pi$ のとき $t : \pi \to 0$ となる。

$$\begin{aligned} I &= \int_{\pi}^{0} \left(\pi - t - \frac{\pi}{2}\right) f(\pi - t) (-dt) \\ &= \int_{0}^{\pi} \left(\frac{\pi}{2} - t\right) f(t) dt \quad (\text{条件 } f(\pi - t) = f(t) \text{ より}) \\ &= -\int_{0}^{\pi} \left(t - \frac{\pi}{2}\right) f(t) dt \\ &= -I \end{aligned}$$

したがって $2I = 0$ となり、$I = 0$ が得られる。

解説

(1) は定積分において置換積分を利用する典型手法であり、本問のように $x f(x)$ の形をした積分から $x$ を消去する強力な変形である。

(2) は (1) で証明した等式を用いることで、被積分関数の $x$ を定数 $\frac{\pi}{2}$ に置き換えることができる。その後は三角関数の基本的な置換積分（$\sin x$ を $1$ 個だけ残して他を $\cos x$ で表し、$u = \cos x$ とおく）と、有理関数の積分における次数下げ・部分分数分解を行う典型的な計算問題となる。

答え

(1)

証明は解法を参照。

(2)

$$\pi - \frac{3}{4} \pi \log 3$$