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数学3 定積分・面積問題 87 解説

方針・初手

積分区間が定数である定積分は、値が定数となるため、文字でおくことが定石である。本問では、$k = \int_0^1 f(t) dt$ とおくことで、$f(x)$ の式を $x$ と定数 $k$ を用いて表すことができる。これを再度、定積分の式に代入して $k$ についての方程式を解くことで、$f(x)$ を決定する。

また、極値をもつ条件については、導関数 $f'(x)$ を計算し、$x=1$ で $f'(1)=0$ となることを必要条件として定数 $a$ を求める。さらに、求まった $a$ に対して、実際に $x=1$ の前後で $f'(x)$ の符号が変化するかどうか（十分条件）を必ず確認する。

解法1

(1)

定積分 $\int_0^1 f(t) dt$ は定数であるから、これを $k$ とおく。

$$k = \int_0^1 f(t) dt$$

与えられた方程式は次のように表される。

$$f(x) = (x^2 + akx - 1)e^x$$

これを $k$ の定義式に代入する。

$$k = \int_0^1 (t^2 + akt - 1)e^t dt$$

右辺の各項の定積分を、部分積分を用いて計算する。

$$\int_0^1 e^t dt = \left[ e^t \right]_0^1 = e - 1$$

$$\int_0^1 t e^t dt = \left[ t e^t \right]_0^1 - \int_0^1 e^t dt = e - (e - 1) = 1$$

$$\int_0^1 t^2 e^t dt = \left[ t^2 e^t \right]_0^1 - \int_0^1 2t e^t dt = e - 2 \cdot 1 = e - 2$$

これらを代入して $k$ を計算する。

$$k = (e - 2) + ak \cdot 1 - (e - 1)$$

$$k = ak - 1$$

整理すると、以下の式を得る。

$$(a - 1)k = 1$$

ここで $a = 1$ とすると $0 = 1$ となり矛盾する。したがって、$a \neq 1$ であり、両辺を $a - 1$ で割ることができる。

$$k = \frac{1}{a - 1}$$

これを $f(x)$ の式に代入して、関数 $f(x)$ を得る。

$$f(x) = \left( x^2 + \frac{a}{a - 1}x - 1 \right)e^x$$

(2)

(1) で求めた $f(x)$ を $x$ について微分する。

$$f'(x) = \left( 2x + \frac{a}{a - 1} \right)e^x + \left( x^2 + \frac{a}{a - 1}x - 1 \right)e^x$$

$$f'(x) = \left( x^2 + \frac{2a - 1}{a - 1}x + \frac{1}{a - 1} \right)e^x$$

関数 $f(x)$ が $x = 1$ で極値をとるための必要条件は、$f'(1) = 0$ となることである。

$$f'(1) = \left( 1^2 + \frac{2a - 1}{a - 1} \cdot 1 + \frac{1}{a - 1} \right)e = 0$$

$e \neq 0$ より、カッコ内が $0$ となる。

$$1 + \frac{2a}{a - 1} = 0$$

両辺に $a - 1$ を掛けて整理する。

$$(a - 1) + 2a = 0$$

$$3a - 1 = 0$$

$$a = \frac{1}{3}$$

この $a$ の値が十分条件を満たすか（$x = 1$ の前後で $f'(x)$ の符号が変化するか）を確認する。 $a = \frac{1}{3}$ のとき、$f'(x)$ は以下のようになる。

$$f'(x) = \left( x^2 + \frac{\frac{2}{3} - 1}{\frac{1}{3} - 1}x + \frac{1}{\frac{1}{3} - 1} \right)e^x$$

$$f'(x) = \left( x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \right)e^x$$

$$f'(x) = \frac{1}{2}(2x^2 + x - 3)e^x$$

$$f'(x) = \frac{1}{2}(2x + 3)(x - 1)e^x$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, -\frac{3}{2}$ のときである。 $e^x > 0$ であるから、$f'(x)$ の符号は放物線 $y = \frac{1}{2}(2x + 3)(x - 1)$ の符号と一致する。したがって、$x = 1$ の前後で $f'(x)$ の符号は負から正へと変化し、関数 $f(x)$ は $x = 1$ で極小値をとる。また、$a = \frac{1}{3}$ は問題の条件 $a \neq 0$ を満たしている。よって、求める $a$ の値は $a = \frac{1}{3}$ である。

(3)

(2) より、$a = \frac{1}{3}$ のとき、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, -\frac{3}{2}$ である。増減を調べると、$x = -\frac{3}{2}$ の前後で $f'(x)$ の符号は正から負へと変化するため、ここで極大値をとる。

極値をとるときの関数 $f(x)$ の値を計算する。 $a = \frac{1}{3}$ を $f(x)$ の式に代入すると、以下のようになる。

$$f(x) = \left( x^2 - \frac{1}{2}x - 1 \right)e^x$$

$x = -\frac{3}{2}$ のときの極大値は以下のように計算される。

$$f \left( -\frac{3}{2} \right) = \left( \left( -\frac{3}{2} \right)^2 - \frac{1}{2} \left( -\frac{3}{2} \right) - 1 \right)e^{-\frac{3}{2}}$$

$$f \left( -\frac{3}{2} \right) = \left( \frac{9}{4} + \frac{3}{4} - 1 \right)e^{-\frac{3}{2}}$$

$$f \left( -\frac{3}{2} \right) = 2e^{-\frac{3}{2}}$$

$x = 1$ のときの極小値は以下のように計算される。

$$f(1) = \left( 1^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \right)e^1$$

$$f(1) = -\frac{1}{2}e$$

解説

定積分 $\int_0^1 f(t) dt$ のように、積分区間が定数のみで構成されている場合は、その値全体が定数となる。そのため、これを $k$ のような文字に置き換えるのが典型的な手法である。

また、ある関数が特定の $x$ の値で極値をもつための条件を考える際、「導関数の値が $0$ になる」ことは必要条件にすぎない。必ず「その $x$ の値の前後で導関数の符号が変化する」という十分条件を確認する癖をつけておくことが重要である。本問では、(2) で求まった $a$ の値が1つであったため十分条件も満たすことが予想されるが、記述式では符号変化の確認を省略してはならない。