数学3 定積分・面積 問題 88 解説

方針・初手

• $f(\theta)$ は積分区間の上限が $\theta$ であり、被積分関数にも $\theta$ が含まれている定積分で表された関数である。
• 積分変数は $t$ であることに注意し、$\theta$ を積分の外にくくり出してから $\theta$ で微分し、導関数 $f'(\theta)$ を求めて増減を調べる。
• または、被積分関数の不定積分が容易に求まるため、そのまま部分積分を用いて $f(\theta)$ を具体的な式として求めてから最大値を調べる方針も考えられる。

解法1

被積分関数を展開し、積分変数 $t$ と無関係な $\theta$ を積分の外に出す。

$$f(\theta) = \theta \int_0^\theta \sin 2t dt - \int_0^\theta t \sin 2t dt$$

両辺を $\theta$ で微分する。積の微分公式を用いる。

$$\begin{aligned} f'(\theta) &= 1 \cdot \int_0^\theta \sin 2t dt + \theta \cdot \sin 2\theta - \theta \sin 2\theta \\ &= \int_0^\theta \sin 2t dt \\ &= \left[ -\frac{1}{2} \cos 2t \right]_0^\theta \\ &= \frac{1}{2} (1 - \cos 2\theta) \end{aligned}$$

$-1 \leqq \cos 2\theta \leqq 1$ より、すべての $\theta$ について $1 - \cos 2\theta \geqq 0$ であるから、常に $f'(\theta) \geqq 0$ が成り立つ。

したがって、$f(\theta)$ は単調に増加する関数である。 定義域 $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ における最大値は $\theta = 2\pi$ のときにとる。

$$f(2\pi) = 2\pi \int_0^{2\pi} \sin 2t dt - \int_0^{2\pi} t \sin 2t dt$$

ここで、それぞれの定積分を計算する。

$$\int_0^{2\pi} \sin 2t dt = \left[ -\frac{1}{2} \cos 2t \right]_0^{2\pi} = -\frac{1}{2}(1 - 1) = 0$$

$$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} t \sin 2t dt &= \left[ t \left( -\frac{1}{2} \cos 2t \right) \right]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} 1 \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos 2t \right) dt \\ &= \left(-\pi \cdot 1 - 0\right) + \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \sin 2t \right]_0^{2\pi} \\ &= -\pi + 0 = -\pi \end{aligned}$$

よって、

$$f(2\pi) = 2\pi \cdot 0 - (-\pi) = \pi$$

ゆえに、最大値は $\pi$ であり、そのときの $\theta$ は $2\pi$ である。

解法2

先に定積分を計算して $f(\theta)$ の具体的な関数形を求める。 部分積分法を用いる。積分変数は $t$ であり、$\theta$ は定数として扱う。

$$\begin{aligned} f(\theta) &= \int_0^\theta (\theta - t) \sin 2t dt \\ &= \left[ (\theta - t) \left( -\frac{1}{2} \cos 2t \right) \right]_0^\theta - \int_0^\theta (-1) \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos 2t \right) dt \\ &= \left( 0 - \theta \left( -\frac{1}{2} \cdot 1 \right) \right) - \frac{1}{2} \int_0^\theta \cos 2t dt \\ &= \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \sin 2t \right]_0^\theta \\ &= \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin 2\theta - 0 \right) \\ &= \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{4} \sin 2\theta \end{aligned}$$

$f(\theta)$ を $\theta$ で微分して増減を調べる。

$$f'(\theta) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot 2 \cos 2\theta = \frac{1}{2}(1 - \cos 2\theta)$$

$-1 \leqq \cos 2\theta \leqq 1$ であるから、常に $f'(\theta) \geqq 0$ が成り立つ。 したがって、$f(\theta)$ は単調増加する関数である。

定義域 $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ において、$f(\theta)$ は $\theta = 2\pi$ のとき最大値をとる。

$$f(2\pi) = \frac{1}{2} \cdot 2\pi - \frac{1}{4} \sin 4\pi = \pi - 0 = \pi$$

ゆえに、最大値は $\pi$ であり、そのときの $\theta$ は $2\pi$ である。

解説

• 被積分関数に積分変数以外の文字が含まれている場合は、それを積分の外に出してから微分するのが定石である。この問題では $\frac{d}{dx} \int_a^x (x-t) g(t) dt = \int_a^x g(t) dt$ となる有名事実を利用している（解法1）。
• 一方で、本問のように被積分関数の積分が容易に実行できる場合は、そのまま定積分を計算して関数を具体的に求めてしまう方針も有効である（解法2）。どちらのアプローチでも計算量に大きな差はない。
• 微分した結果が $f'(\theta) = \frac{1}{2}(1 - \cos 2\theta)$ となり、これが常に $0$ 以上であることから、単調増加関数であると見抜けるかがポイントである。

答え

最大値は $\pi$ （$\theta = 2\pi$ のとき）