数学3 定積分・面積 問題 90 解説

方針・初手

与えられた定積分の被積分関数を、計算しやすいように2つの項に分割する。

$$\int_{0}^{2} \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}} dx = \int_{0}^{2} \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}} dx + \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} dx$$

第1項は $\left( x^2+4 \right)' = 2x$ であることを利用して直ちに積分できる。第2項は無理関数の積分における典型的な置換積分法を用いて計算する。

解法1

与式を2つの定積分の和に分ける。

$$\int_{0}^{2} \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}} dx = \int_{0}^{2} \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}} dx + \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} dx$$

第1項について、次のように計算できる。

$$\int_{0}^{2} \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}} dx = \left[ 2\sqrt{x^2+4} \right]_{0}^{2} = 2\sqrt{8} - 2\sqrt{4} = 4\sqrt{2} - 4$$

第2項について、$t = x + \sqrt{x^2+4}$ とおく。両辺を $x$ で微分すると、

$$\frac{dt}{dx} = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}} = \frac{\sqrt{x^2+4}+x}{\sqrt{x^2+4}} = \frac{t}{\sqrt{x^2+4}}$$

これより、

$$\frac{dx}{\sqrt{x^2+4}} = \frac{dt}{t}$$

となる。また、$x$ と $t$ の対応は以下のようになる。

$x$ が $0$ から $2$ まで変化するとき、$t$ は $2$ から $2+\sqrt{8} = 2+2\sqrt{2}$ まで変化する。

したがって、第2項の定積分は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} dx &= \int_{2}^{2+2\sqrt{2}} \frac{1}{t} dt \\ &= \left[ \log|t| \right]_{2}^{2+2\sqrt{2}} \\ &= \log(2+2\sqrt{2}) - \log 2 \\ &= \log \frac{2(1+\sqrt{2})}{2} \\ &= \log(1+\sqrt{2}) \end{aligned}$$

以上より、求める定積分は第1項と第2項の和であるから、

$$4\sqrt{2} - 4 + \log(1+\sqrt{2})$$

解法2

第1項の計算は解法1と同様である。

$$\int_{0}^{2} \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}} dx = 4\sqrt{2} - 4$$

第2項について、$x = 2\tan\theta \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$ とおく。

$$dx = \frac{2}{\cos^2\theta} d\theta$$

であり、$x$ が $0$ から $2$ まで変化するとき、$\tan\theta$ は $0$ から $1$ まで変化するので、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{4}$ まで変化する。 また、$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲において $\cos\theta > 0$ であるため、

$$\sqrt{x^2+4} = \sqrt{4\tan^2\theta+4} = 2\sqrt{1+\tan^2\theta} = 2\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}} = \frac{2}{\cos\theta}$$

となる。したがって、第2項の定積分は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos\theta}{2} \cdot \frac{2}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos\theta} d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos\theta}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos\theta}{1-\sin^2\theta} d\theta \end{aligned}$$

ここで、$u = \sin\theta$ とおくと、$du = \cos\theta d\theta$ であり、$\theta$ が $0$ から $\frac{\pi}{4}$ まで変化するとき、$u$ は $0$ から $\frac{1}{\sqrt{2}}$ まで変化する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos\theta}{1-\sin^2\theta} d\theta &= \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{1-u^2} du \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u} \right) du \\ &= \frac{1}{2} \left[ \log|1+u| - \log|1-u| \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \log \left| \frac{1+u}{1-u} \right| \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{1}{2} \log \frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \end{aligned}$$

分母と分子を有理化して、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} &= \frac{1}{2} \log \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} \\ &= \frac{1}{2} \log (\sqrt{2}+1)^2 \\ &= \log(\sqrt{2}+1) \end{aligned}$$

以上より、求める定積分は

$$4\sqrt{2} - 4 + \log(\sqrt{2}+1)$$

解説

被積分関数の分子を $2x$ と $1$ に分割することが最大のポイントである。

第1項 $\int \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}} dx$ は $f'(x)\{f(x)\}^{\alpha}$ の形をしているため、そのまま積分ができる。 第2項 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} dx$ は、$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+A}} dx = \log|x+\sqrt{x^2+A}| + C$ という公式として覚えている受験生も多いだろう。この公式は解法1のように $t = x + \sqrt{x^2+A}$ と置換することで導出される。

解法2のように $x = 2\tan\theta$ と置換する方針も有効である。計算量はやや増えるが、三角関数の積分において $\cos\theta$ を分母分子に掛けて $\sin\theta = u$ と置換する部分分数分解の典型的な処理の練習となる。

答え

$$4\sqrt{2} - 4 + \log(\sqrt{2}+1)$$