数学3 定積分・面積 問題 91 解説

方針・初手

無理式を含む分数関数の不定積分である。分母の有理化を行って式を簡略化するか、根号部分を文字で置換して有理関数の積分に帰着させるのが基本的な方針となる。

解法1

被積分関数の分母を分子を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{x+1} - 1$ を掛ける。

$$\frac{x}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{(\sqrt{x+1} + 1)(\sqrt{x+1} - 1)}$$

$$= \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{(x + 1) - 1}$$

$$= \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{x}$$

$x \neq 0$ のとき、約分して $\sqrt{x+1} - 1$ となる。（$x=0$ の場合も極限を考えれば連続に繋がるため、積分結果には影響しない。）

したがって、求める不定積分は以下のようになる。

$$\int \frac{x}{\sqrt{x+1} + 1} dx = \int (\sqrt{x+1} - 1) dx$$

$$= \int \left\{ (x+1)^{\frac{1}{2}} - 1 \right\} dx$$

$$= \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - x + C$$

（$C$ は積分定数）

解法2

$\sqrt{x+1} = t$ とおいて置換積分を行う。

両辺を2乗すると $x+1 = t^2$ となり、$x = t^2 - 1$ である。

両辺を $x$ で微分すると $dx = 2t dt$ となる。

これらを元の積分に代入する。

$$\int \frac{x}{\sqrt{x+1} + 1} dx = \int \frac{t^2 - 1}{t + 1} \cdot 2t dt$$

分子を因数分解すると $t^2 - 1 = (t+1)(t-1)$ となるので、分母と約分する。

$$= \int \frac{(t+1)(t-1)}{t+1} \cdot 2t dt$$

$$= \int 2t(t - 1) dt$$

$$= \int (2t^2 - 2t) dt$$

$$= \frac{2}{3}t^3 - t^2 + C'$$

（$C'$ は積分定数）

$t = \sqrt{x+1}$ を代入して元に戻す。

$$= \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - (x+1) + C'$$

$$= \frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1} - x - 1 + C'$$

ここで、$C = C' - 1$ とおき直せば、解法1と同じ結果を得る。

$$= \frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1} - x + C$$

解説

無理式を含む不定積分の典型的な計算問題である。分母に $\sqrt{f(x)} + A$ のような形がある場合、分母分子に共役な無理式 $\sqrt{f(x)} - A$ を掛ける「分母の有理化」を行うことで、式が劇的に簡単になることが多い。

また、解法2のように $\sqrt{f(x)} = t$ とおく置換積分も無理関数を積分する際の強力な定石である。どちらの手法を選んでもスムーズに計算を進めることができる。解法によって得られる式の見かけが異なる場合があるが、積分定数による調整で一致することを確認できるとよい。

答え

$$\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1} - x + C \quad （C \text{ は積分定数}）$$