数学3 定積分・面積 問題 93 解説

方針・初手

三角関数の有理関数化における定石である $t = \tan \frac{x}{2}$ の置換を行う問題である。 (1)と(2)の誘導に従うことで、(3)の三角関数の積分を $t$ の有理関数の積分に帰着させることができる。有理関数の積分では、分母を因数分解して部分分数分解を行うのが基本方針となる。

解法1

(1)

2倍角の公式と三角関数の相互関係を用いて変形する。

$$\begin{aligned} \sin x &= \sin \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) \\ &= 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \\ &= 2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} \\ &= 2 \tan \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} \\ &= \frac{2t}{1+t^2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \cos x &= \cos \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) \\ &= \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \\ &= \cos^2 \frac{x}{2} \left( 1 - \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} \right) \\ &= \frac{1}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} \left( 1 - \tan^2 \frac{x}{2} \right) \\ &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{aligned}$$

(2)

$t = \tan \frac{x}{2}$ の両辺を $x$ で微分する。

$$\begin{aligned} \frac{dt}{dx} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \left( 1 + \tan^2 \frac{x}{2} \right) \\ &= \frac{1+t^2}{2} \end{aligned}$$

したがって、逆関数の微分法より以下のようになる。

$$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$$

(3)

(1)、(2)の結果より、$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$ であり、被積分関数の分母は次のように表される。

$$\begin{aligned} 3\sin x + 4\cos x &= 3 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) + 4 \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) \\ &= \frac{6t + 4 - 4t^2}{1+t^2} \\ &= \frac{-4t^2 + 6t + 4}{1+t^2} \end{aligned}$$

求める不定積分を $I$ とおき、$t$ の積分に置換する。

$$\begin{aligned} I &= \int \frac{5}{3\sin x + 4\cos x} dx \\ &= \int \frac{5}{\frac{-4t^2 + 6t + 4}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt \\ &= \int \frac{10}{-4t^2 + 6t + 4} dt \\ &= \int \frac{5}{-2t^2 + 3t + 2} dt \\ &= \int \frac{-5}{(2t+1)(t-2)} dt \end{aligned}$$

ここで、被積分関数を部分分数分解する。$\frac{-5}{(2t+1)(t-2)} = \frac{a}{2t+1} + \frac{b}{t-2}$ とおいて整理すると、$-5 = a(t-2) + b(2t+1)$ となる。この $t$ についての恒等式において、$t=2$ を代入すると $-5 = 5b$ より $b=-1$、$t=-\frac{1}{2}$ を代入すると $-5 = -\frac{5}{2}a$ より $a=2$ を得る。

したがって、積分は次のように計算できる。（$C$ は積分定数とする）

$$\begin{aligned} I &= \int \left( \frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t-2} \right) dt \\ &= \log |2t+1| - \log |t-2| + C \\ &= \log \left| \frac{2t+1}{t-2} \right| + C \end{aligned}$$

最後に、$t = \tan \frac{x}{2}$ を代入して $x$ の式に戻す。

$$I = \log \left| \frac{2\tan \frac{x}{2} + 1}{\tan \frac{x}{2} - 2} \right| + C$$

解説

$t = \tan \frac{x}{2}$ とおくことで、$\sin x$、$\cos x$、$\tan x$ および $dx$ をすべて $t$ の有理式で表すことができる。これは $\sin x$ や $\cos x$ を含む分数関数の積分において、他の置換手法（例えば $\cos x$ のみの式にして $\sin x dx$ を作るなど）が通用しない場合に有効な万能の置換方法（ワイエルシュトラス置換）である。

ただし、この置換は計算量が膨らみやすいため、誘導がない場合は他に簡潔な手法がないか検討してから用いるのが望ましい。本問では丁寧な誘導がつけられており、それに従って計算を進めれば部分分数分解の基本問題に帰着する。

答え

(1)

$$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$$

(2)

$$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$$

(3)

$$\log \left| \frac{2\tan \frac{x}{2} + 1}{\tan \frac{x}{2} - 2} \right| + C \quad (C\text{は積分定数})$$