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数学3 定積分・面積問題 95 解説

方針・初手

指数関数と三角関数の積の積分である。このタイプの積分は、部分積分法を2回繰り返すことで元の積分と同じ形を作り出し、方程式として解く方法が定石である。あるいは、積の微分の公式を用いて、微分すると被積分関数になるような関数を直接構成する解法も有効である。

解法1

求める不定積分を $I$ とおく。

$$I = \int e^{-2x} \sin 2x \, dx$$

$e^{-2x} = \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right)'$ とみて部分積分を行う。

$$\begin{aligned} I &= \int \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right)' \sin 2x \, dx \\ &= -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 2x - \int \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) (\sin 2x)' \, dx \\ &= -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 2x - \int \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) (2 \cos 2x) \, dx \\ &= -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 2x + \int e^{-2x} \cos 2x \, dx \end{aligned}$$

右辺の積分に対して、再び $e^{-2x} = \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right)'$ とみて部分積分を行う。

$$\begin{aligned} \int e^{-2x} \cos 2x \, dx &= \int \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right)' \cos 2x \, dx \\ &= -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 2x - \int \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) (\cos 2x)' \, dx \\ &= -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 2x - \int \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) (-2 \sin 2x) \, dx \\ &= -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 2x - \int e^{-2x} \sin 2x \, dx \\ &= -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 2x - I \end{aligned}$$

これを先ほどの $I$ の式に代入する。

$$I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 2x - \frac{1}{2} e^{-2x} \cos 2x - I$$

$I$ について解くために移項して整理する。

$$2I = -\frac{1}{2} e^{-2x} (\sin 2x + \cos 2x)$$

よって、積分定数を $C$ とすると、求める不定積分は以下のようになる。

$$I = -\frac{1}{4} e^{-2x} (\sin 2x + \cos 2x) + C$$

解法2

$e^{-2x} \sin 2x$ および $e^{-2x} \cos 2x$ をそれぞれ微分する。

$$\begin{aligned} (e^{-2x} \sin 2x)' &= -2e^{-2x} \sin 2x + 2e^{-2x} \cos 2x \\ (e^{-2x} \cos 2x)' &= -2e^{-2x} \cos 2x - 2e^{-2x} \sin 2x \end{aligned}$$

この2つの式の辺々を加えることで、$e^{-2x} \cos 2x$ の項を消去する。

$$(e^{-2x} \sin 2x)' + (e^{-2x} \cos 2x)' = -4e^{-2x} \sin 2x$$

式を整理して、積分したい関数 $e^{-2x} \sin 2x$ を作り出す。

$$e^{-2x} \sin 2x = -\frac{1}{4} \left\{ (e^{-2x} \sin 2x)' + (e^{-2x} \cos 2x)' \right\}$$

微分の線形性より、右辺をひとつの微分でまとめる。

$$e^{-2x} \sin 2x = \left\{ -\frac{1}{4} e^{-2x} (\sin 2x + \cos 2x) \right\}'$$

両辺を $x$ について積分し、積分定数を $C$ とすると、求める不定積分が得られる。

$$\int e^{-2x} \sin 2x \, dx = -\frac{1}{4} e^{-2x} (\sin 2x + \cos 2x) + C$$

解説

「同形の指数関数 $\times$ 三角関数（正弦・余弦）」の不定積分における非常に典型的な問題である。解法1のように部分積分を2回行い、自分自身 $I$ が現れることを利用して方程式を解くアプローチが最も標準的である。部分積分の計算中は、符号のミスや係数の付け忘れが起こりやすいため、慎重な計算が求められる。

また、解法2のように初めから微分の形を用意して係数を調整する方法も実戦的であり、計算量を減らしミスを防ぐうえで有効である。一般に、$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$、$J = \int e^{ax} \cos bx \, dx$ のようなペアを考え、$e^{ax} \sin bx$ と $e^{ax} \cos bx$ の微分から逆算する手法として覚えておくとよい。