数学3 定積分・面積 問題 96 解説

方針・初手

定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt$ は積分区間が定数であり、$t$ で積分した結果に定数を代入するため、全体として定数になる。 この定積分を文字でおき、$f(x)$ をその文字を含んだ式として表すのが定石である。

解法1

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt$ は定数であるから、これを $k$ とおく。

$$k = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt \quad \cdots \text{①}$$

これを与えられた等式に代入すると、$f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = \sin^2 x + k \quad \cdots \text{②}$$

②を①の右辺に代入すると、

$$k = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 t + k) dt$$

ここで、半角の公式より $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ であるから、

$$\begin{aligned} k &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1 - \cos 2t}{2} + k \right) dt \\ &= \left[ \frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin 2t + kt \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} \sin \pi + k \cdot \frac{\pi}{2} \right) - 0 \\ &= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k \end{aligned}$$

この方程式を $k$ について解く。

$$\begin{aligned} k - \frac{\pi}{2} k &= \frac{\pi}{4} \\ \left( 1 - \frac{\pi}{2} \right) k &= \frac{\pi}{4} \\ \frac{2 - \pi}{2} k &= \frac{\pi}{4} \\ k &= \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{2 - \pi} \\ k &= \frac{\pi}{2(2 - \pi)} \end{aligned}$$

求めた $k$ の値を②に代入して、$f(x)$ を得る。

$$f(x) = \sin^2 x + \frac{\pi}{2(2 - \pi)}$$

解説

定積分を含む方程式（積分方程式）の最も基本的なパターンである。「積分区間が定数ならば、定積分は定数」という性質を利用して、定積分全体をひとつの文字でおく解法が必須となる。

また、$\sin^2 x$ や $\cos^2 x$ の積分は、半角の公式を用いて次数を下げることで計算できることも頻出の基本事項である。確実に計算を合わせたい。

答え

$$f(x) = \sin^2 x + \frac{\pi}{2(2 - \pi)}$$