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数学3 定積分・面積問題 97 解説

方針・初手

被積分関数に絶対値が含まれているため、積分区間を分割して絶対値を外す。$0 < a < \frac{\pi}{2}$ であるから、積分区間 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ において $x-a$ の符号が変わる。$x=a$ を境界として積分を分け、$S(a)$ を $a$ の関数として求めた後、微分して増減を調べる。

解法1

$0 < a < \frac{\pi}{2}$ より、積分区間 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ は $0 \le x \le a$ と $a \le x \le \frac{\pi}{2}$ に分割される。

絶対値を外すと以下のようになる。 $0 \le x \le a$ のとき、$|x - a| = a - x$ $a \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$|x - a| = x - a$

したがって、$S(a)$ は次のように表される。

$$S(a) = \int_{0}^{a} (a - x)\sin x \, dx + \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} (x - a)\sin x \, dx$$

ここで、不定積分 $\int x \sin x \, dx$ を部分積分により求める。

$$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int 1 \cdot (-\cos x) \, dx = -x\cos x + \sin x + C \quad (C は積分定数)$$

これを用いて各定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{a} (a - x)\sin x \, dx &= a \int_{0}^{a} \sin x \, dx - \int_{0}^{a} x \sin x \, dx \\ &= a [-\cos x]_{0}^{a} - [\sin x - x\cos x]_{0}^{a} \\ &= a(-\cos a + 1) - (\sin a - a\cos a) \\ &= a - \sin a \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} (x - a)\sin x \, dx &= \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx - a \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx \\ &= [\sin x - x\cos x]_{a}^{\frac{\pi}{2}} - a [-\cos x]_{a}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left(\sin \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\cos \frac{\pi}{2} - \sin a + a\cos a\right) - a\left(-\cos \frac{\pi}{2} + \cos a\right) \\ &= (1 - 0 - \sin a + a\cos a) - a(0 + \cos a) \\ &= 1 - \sin a \end{aligned}$$

これらを足し合わせることで $S(a)$ が得られる。

$$S(a) = (a - \sin a) + (1 - \sin a) = a + 1 - 2\sin a$$

$S(a)$ の最小値を求めるために $a$ で微分する。

$$S'(a) = 1 - 2\cos a$$

$S'(a) = 0$ とすると、$\cos a = \frac{1}{2}$ となる。 $0 < a < \frac{\pi}{2}$ の範囲で解くと、$a = \frac{\pi}{3}$ である。

$0 < a < \frac{\pi}{2}$ における $S(a)$ の増減表は以下のようになる。

$a$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$
$S'(a)$		$-$	$0$	$+$
$S(a)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$S(a)$ は $a = \frac{\pi}{3}$ のとき最小値をとる。

そのときの最小値は以下の通りである。

$$S\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + 1 - 2\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + 1 - \sqrt{3}$$

解法2

絶対値を外して積分を分割するところまでは解法1と同様である。

$$S(a) = \int_{0}^{a} (a - x)\sin x \, dx + \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} (x - a)\sin x \, dx$$

この式を展開し、$a$ について整理する。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_{0}^{a} a\sin x \, dx - \int_{0}^{a} x\sin x \, dx + \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} x\sin x \, dx - \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} a\sin x \, dx \\ &= a\int_{0}^{a} \sin x \, dx - \int_{0}^{a} x\sin x \, dx + \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} x\sin x \, dx - a\int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx \end{aligned}$$

ここで、両辺を $a$ について微分する。積の微分公式と微積分学の基本定理 $\frac{d}{da} \int_{c}^{a} f(x) \, dx = f(a)$ を用いる。

$$\begin{aligned} S'(a) &= \left( 1 \cdot \int_{0}^{a} \sin x \, dx + a \sin a \right) - a\sin a + (-a\sin a) - \left( 1 \cdot \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx + a(-\sin a) \right) \\ &= \int_{0}^{a} \sin x \, dx - \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx \\ &= [-\cos x]_{0}^{a} - [-\cos x]_{a}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= (-\cos a + 1) - \left(-\cos\frac{\pi}{2} + \cos a\right) \\ &= 1 - \cos a - (0 + \cos a) \\ &= 1 - 2\cos a \end{aligned}$$

以降は解法1と同様にして、$S'(a) = 0$ となる $a = \frac{\pi}{3}$ を求め、増減表から最小値が $\frac{\pi}{3} + 1 - \sqrt{3}$ であることを導く。

解説

絶対値を含む定積分は、積分区間内で絶対値の中身の符号が変わる点を境目として区間を分割するのが基本である。本問では積分変数は $x$ であり、$a$ は定数として扱う。積分計算においては、$(x-a)$ と三角関数の積であるから、部分積分を用いることが定石である。解法2のように、定積分で表された関数を計算せずにそのまま微分する手法は、計算量を減らすことができる強力な武器となる。特に本問のように被積分関数に $x$ だけでなく $a$ も含まれている場合は、一旦展開して $a$ を積分の外に出してから微分するとよい。