数学3 定積分・面積 問題 98 解説

方針・初手

分子の次数が分母の次数以上である有理関数（分数関数）の積分では、まず「分子を分母で割って分子の次数を分母より小さくする」のが定石である。その後、分母を因数分解して部分分数分解を行い、基本公式で積分できる形に帰着させる。

解法1

被積分関数の分子を分母で割ると、

$$2x^3 + 3x^2 - 8x - 13 = (2x + 3)(x^2 - 4) - 1$$

となるので、被積分関数は以下のように変形できる。

$$\frac{2x^3 + 3x^2 - 8x - 13}{x^2 - 4} = 2x + 3 - \frac{1}{x^2 - 4}$$

ここで、右辺の第3項の分母を因数分解し、部分分数分解を行うと、

$$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} \right)$$

となる。

したがって、求める不定積分は、積分定数を $C$ として次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int \frac{2x^3 + 3x^2 - 8x - 13}{x^2 - 4} dx &= \int \left\{ 2x + 3 - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} \right) \right\} dx \\ &= x^2 + 3x - \frac{1}{4} ( \log|x - 2| - \log|x + 2| ) + C \\ &= x^2 + 3x - \frac{1}{4} \log \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + C \end{aligned}$$

解説

分数関数の積分における基本手順を問う問題である。重要なステップは以下の2点に集約される。

1. 次数下げ：分子の次数 $\geqq$ 分母の次数 の場合は、必ず多項式の割り算を行って分子の次数を分母より下げる。
2. 部分分数分解：分母が因数分解できる場合は、部分分数分解を行い、$\int \frac{1}{x-a} dx = \log|x-a| + C$ の公式が使える形に持ち込む。

特に、$\frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \left( \frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a} \right)$ という部分分数分解の変形は、積分計算において非常に頻出であるため、公式として素早く引き出せるようにしておきたい。また、対数関数の積分結果には絶対値記号が必須であるため、つけ忘れに注意が必要である。

答え

$x^2 + 3x - \frac{1}{4} \log \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right|$