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数学3 定積分・面積問題 99 解説

方針・初手

(1) は、2点を通る直線の方程式を立て、原点から下ろした垂線の足を求めるか、点と直線の距離や法線ベクトルを利用して対称点の座標を求める。 (2) は、(1) で得られた $x, y$ の式を $\theta$ で微分して計算を進める。倍角の公式などを用いて式を整理し、$2\theta$ のみを用いた式に変形する。 (3) は、$\theta$ を $\frac{\pi}{2} - \theta$ に置き換えたとき、$x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わることを確認する。 (4) は、(2) の結果を誘導として利用し、媒介変数表示の面積公式を用いて積分する。あるいは、極方程式に変換して積分する別解も考えられる。

解法1

(1)

$\theta = 0$ のとき、2点 $(1, 0), (0, 0)$ を通る直線は $x$ 軸であり、原点Oの対称点Pの座標は $(0, 0)$ である。

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、2点 $(0, 0), (0, 1)$ を通る直線は $y$ 軸であり、点Pの座標は $(0, 0)$ である。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、2点を通る直線 $l$ の方程式は

$$\frac{x}{\cos\theta} + \frac{y}{\sin\theta} = 1$$

すなわち

$$(\sin\theta)x + (\cos\theta)y - \sin\theta\cos\theta = 0$$

となる。原点Oから直線 $l$ に下ろした垂線の足をHとする。直線OHは $l$ に垂直であり、原点を通るから、その方程式は

$$(\cos\theta)x - (\sin\theta)y = 0$$

である。Hはこれら2直線の交点なので、連立方程式を解く。 $y = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}x$ を $l$ の式に代入して、

$$(\sin\theta)x + \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}x = \sin\theta\cos\theta$$

$$\frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta}x = \sin\theta\cos\theta$$

$$\frac{1}{\sin\theta}x = \sin\theta\cos\theta$$

よって、

$$x = \sin^2\theta\cos\theta$$

$$y = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin^2\theta\cos\theta = \sin\theta\cos^2\theta$$

したがって、Hの座標は $(\sin^2\theta\cos\theta, \sin\theta\cos^2\theta)$ である。点Pは直線 $l$ に関する原点Oの対称点であるから、Hは線分OPの中点となる。したがって、点Pの座標 $(x,y)$ は

$$x = 2\sin^2\theta\cos\theta$$

$$y = 2\sin\theta\cos^2\theta$$

となる。これは $\theta = 0, \frac{\pi}{2}$ のときの $(x,y) = (0,0)$ という結果も満たしており、すべての $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ において成立する。

(2)

$x = \sin\theta(2\sin\theta\cos\theta) = \sin\theta\sin2\theta$ と変形して $\theta$ で微分すると、

$$\frac{dx}{d\theta} = \cos\theta\sin2\theta + \sin\theta(2\cos2\theta) = \cos\theta\sin2\theta + 2\sin\theta\cos2\theta$$

また、$y = \cos\theta(2\sin\theta\cos\theta) = \cos\theta\sin2\theta$ である。したがって、

$$y \frac{dx}{d\theta} = (\cos\theta\sin2\theta)(\cos\theta\sin2\theta + 2\sin\theta\cos2\theta)$$

$$= \cos^2\theta\sin^2 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta\sin2\theta\cos2\theta$$

ここで、半角の公式 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$ と、2倍角の公式 $2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta$ を用いると、

$$y \frac{dx}{d\theta} = \frac{1+\cos2\theta}{2}\sin^2 2\theta + \sin^2 2\theta\cos2\theta$$

$$= \sin^2 2\theta \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos2\theta + \cos2\theta \right)$$

$$= \frac{1}{2}\sin^2 2\theta (1 + 3\cos2\theta)$$

(3)

(1) で求めたPの座標を $x(\theta), y(\theta)$ とおく。

$$x(\theta) = 2\sin^2\theta\cos\theta, \quad y(\theta) = 2\sin\theta\cos^2\theta$$

ここで、$\theta$ の代わりに $\frac{\pi}{2} - \theta$ を代入すると、

$$x\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 2\cos^2\theta\sin\theta = y(\theta)$$

$$y\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 2\cos\theta\sin^2\theta = x(\theta)$$

$\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲を動くとき、$\frac{\pi}{2} - \theta$ も $0 \leqq \frac{\pi}{2} - \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲を動く。これは、曲線 $C$ 上の点 $(x(\theta), y(\theta))$ を直線 $y=x$ に関して対称移動した点 $(y(\theta), x(\theta))$ が、同じ曲線 $C$ 上の点 $(x(\frac{\pi}{2}-\theta), y(\frac{\pi}{2}-\theta))$ として存在することを意味する。よって、曲線 $C$ は直線 $y=x$ に関して対称である。

(4)

$\frac{dx}{d\theta}$ の符号を調べる。

$$\frac{dx}{d\theta} = \cos\theta(2\sin\theta\cos\theta) + 2\sin\theta(1-2\sin^2\theta)$$

$$= 2\sin\theta\cos^2\theta + 2\sin\theta - 4\sin^3\theta$$

$$= 2\sin\theta(1-\sin^2\theta) + 2\sin\theta - 4\sin^3\theta = 2\sin\theta(2 - 3\sin^2\theta)$$

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$\sin\alpha = \sqrt{\frac{2}{3}}$ を満たす角 $\alpha$ をとる。 $0 < \theta < \alpha$ のとき $\frac{dx}{d\theta} > 0$ より $x$ は単調増加する。 $\alpha < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき $\frac{dx}{d\theta} < 0$ より $x$ は単調減少する。また、$\theta=0, \frac{\pi}{2}$ のとき $x=y=0$ であり、常に $y \geqq 0$ であることから、曲線 $C$ は第1象限で原点を出発し、原点に戻るループを描く。

この曲線によって囲まれる部分の面積 $S$ は、上側の曲線を $y_1$（$\theta$ が $0 \to \alpha$ の区間）、下側の曲線を $y_2$（$\theta$ が $\alpha \to \frac{\pi}{2}$ の区間）とすると、

$$S = \int_0^{x(\alpha)} y_1 dx - \int_0^{x(\alpha)} y_2 dx$$

$$= \int_0^\alpha y \frac{dx}{d\theta} d\theta - \int_{\frac{\pi}{2}}^\alpha y \frac{dx}{d\theta} d\theta$$

$$= \int_0^\alpha y \frac{dx}{d\theta} d\theta + \int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} y \frac{dx}{d\theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} y \frac{dx}{d\theta} d\theta$$

(2) の結果を用いると、

$$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\sin^2 2\theta (1 + 3\cos2\theta) d\theta$$

$$= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta d\theta + \frac{3}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta \cos2\theta d\theta$$

第1項は半角の公式を用いて、

$$\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos4\theta}{2} d\theta = \frac{1}{4} \left[ \theta - \frac{1}{4}\sin4\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$$

第2項は、

$$\frac{3}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta \cos2\theta d\theta = \frac{3}{2} \left[ \frac{\sin^3 2\theta}{3 \cdot 2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4} (\sin^3 \pi - \sin^3 0) = 0$$

したがって、求める面積は

$$S = \frac{\pi}{8}$$

解法2

(4) の別解：極座標を利用した面積計算

点 P$(x,y)$ の原点からの距離 $r$ を求める。

$$r^2 = x^2 + y^2 = (2\sin^2\theta\cos\theta)^2 + (2\sin\theta\cos^2\theta)^2$$

$$= 4\sin^4\theta\cos^2\theta + 4\sin^2\theta\cos^4\theta$$

$$= 4\sin^2\theta\cos^2\theta(\sin^2\theta+\cos^2\theta) = (2\sin\theta\cos\theta)^2 = \sin^2 2\theta$$

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin2\theta \geqq 0$ であるから、$r = \sin2\theta$ となる。次に、原点以外の点Pについて、極座標表示における偏角を $\phi$ とすると、

$$\cos\phi = \frac{x}{r} = \frac{2\sin^2\theta\cos\theta}{2\sin\theta\cos\theta} = \sin\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$$

$$\sin\phi = \frac{y}{r} = \frac{2\sin\theta\cos^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta} = \cos\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \frac{\pi}{2} - \theta < \frac{\pi}{2}$ であるため、偏角は $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ と表せる。（$\theta = 0, \frac{\pi}{2}$ のときは原点でありこれも矛盾しない）これより $d\phi = -d\theta$ であり、$\theta$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化するとき、$\phi$ は $\frac{\pi}{2}$ から $0$ へ単調に変化する。曲線は原点から出発して原点に戻る閉曲線であり、その面積 $S$ は極座標の面積公式を用いて次のように計算できる。

$$S = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} r^2 d\phi = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^0 (\sin2\theta)^2 (-d\theta) = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta d\theta$$

$$= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos4\theta}{2} d\theta = \frac{1}{4} \left[ \theta - \frac{1}{4}\sin4\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{8}$$

解説

本問は媒介変数表示された曲線の対称性と面積を求める問題である。

(2) の計算は (4) における面積計算の準備となっており、誘導に乗ることで直交座標系ベースでの面積分をスムーズに実行できる設計となっている。媒介変数表示の面積公式 $S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} y \frac{dx}{d\theta} d\theta$ が自然に現れることを確認しておきたい。

また、解法2で示したように、本問の曲線 $x^2+y^2 = \sin^2 2\theta$ は、極座標系において極方程式 $r = \sin 2\phi$ で表される「正葉曲線（四葉のクローバー型）」の第1象限部分に相当する。極座標に変換することで、複雑な式変形を回避し、非常に簡潔に面積を求めることができる。対称性の把握や面積計算の検算にも有効な視点であるため、習得しておくとよい。