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数学3 定積分・面積問題 100 解説

方針・初手

(1) は対数関数の積分である。真数が商の形になっているため、差の形に分解し、$(x+A)' = 1$ とみなして部分積分法を用いる。 (2) は $\lim_{n \to \infty} ( \text{積の形} )^{\frac{1}{n}}$ の極限である。この形は、自然対数をとることで $\frac{1}{n} \sum$ の形（和の極限）に変換でき、区分求積法を用いて定積分に帰着させるのが定石である。その際、(1) の結果を利用する。

解法1

(1)

被積分関数の対数を差の形に分解し、部分積分法を用いて計算する。

$$\int_{0}^{1} \log \frac{x+2}{x+1} dx = \int_{0}^{1} \{ \log(x+2) - \log(x+1) \} dx$$

それぞれの項について部分積分を行う。$(x+2)' = 1$ および $(x+1)' = 1$ であることを利用する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \log(x+2) dx &= \int_{0}^{1} (x+2)' \log(x+2) dx \\ &= \left[ (x+2)\log(x+2) \right]_0^1 - \int_{0}^{1} (x+2) \cdot \frac{1}{x+2} dx \\ &= (3\log 3 - 2\log 2) - \int_{0}^{1} 1 dx \\ &= 3\log 3 - 2\log 2 - \left[ x \right]_0^1 \\ &= 3\log 3 - 2\log 2 - 1 \end{aligned}$$

同様に、

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \log(x+1) dx &= \int_{0}^{1} (x+1)' \log(x+1) dx \\ &= \left[ (x+1)\log(x+1) \right]_0^1 - \int_{0}^{1} (x+1) \cdot \frac{1}{x+1} dx \\ &= (2\log 2 - 1\log 1) - \int_{0}^{1} 1 dx \\ &= 2\log 2 - \left[ x \right]_0^1 \\ &= 2\log 2 - 1 \end{aligned}$$

したがって、求める定積分の値は、

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \log \frac{x+2}{x+1} dx &= (3\log 3 - 2\log 2 - 1) - (2\log 2 - 1) \\ &= 3\log 3 - 4\log 2 \end{aligned}$$

(2)

求める極限値を $L$ とおく。

$$L = \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{(2n+1)(2n+2)\cdots(2n+n)}{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \right\}^{\frac{1}{n}}$$

括弧の中は正であるため、両辺の自然対数をとる。対数の性質 $\log A^p = p \log A$ および $\log(AB) = \log A + \log B$ を用いて変形する。

$$\begin{aligned} \log L &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log \left( \frac{2n+1}{n+1} \cdot \frac{2n+2}{n+2} \cdots \frac{2n+n}{n+n} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log \frac{2n+k}{n+k} \end{aligned}$$

真数の分母と分子をそれぞれ $n$ で割る。

$$\log L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log \frac{2+\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}}$$

これは区分求積法の形 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ になっているため、定積分に書き換えることができる。

$$\log L = \int_{0}^{1} \log \frac{2+x}{1+x} dx$$

この定積分は (1) で求めた式において $\frac{x+2}{x+1}$ と全く同じ形であるため、(1) の結果を利用する。

$$\log L = 3\log 3 - 4\log 2$$

対数の性質を用いて、右辺をひとつの対数にまとめる。

$$\log L = \log 3^3 - \log 2^4 = \log 27 - \log 16 = \log \frac{27}{16}$$

したがって、$\log L = \log \frac{27}{16}$ より、

$$L = \frac{27}{16}$$

解説

(1) は積分の計算問題として標準的である。$\log x$ の積分が $x\log x - x + C$ となるのと同様に、$(x+A)'=1$ を補って部分積分を行うのが最も自然である。そのまま $\log \frac{x+2}{x+1} \cdot 1$ として部分積分を行うことも可能だが、計算がやや煩雑になるため、対数の性質を利用して分解する方が計算ミスを防ぎやすい。

(2) は「対数をとって区分求積法」という極限の典型パターンである。積の形の極限や、$n$ 乗根（$\frac{1}{n}$ 乗）が含まれる極限では、対数をとることで和の極限に変換できる場合が多い。また、(1) が (2) の誘導になっていることに気づけるかどうかがポイントとなる。