数学3 定積分・面積 問題 101 解説

方針・初手

被積分関数の分子 $\sin 2x$ が、分母に含まれる $\sin^2 x$ の導関数 $2\sin x \cos x$ に等しいことに着目する。 さらに、定数項を含めた分母全体 $2+\sin^2 x$ の導関数も $\sin 2x$ となるため、$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| + C$ の公式が直接適用できる形であることを見抜くのが第一歩である。

解法1

被積分関数の分子 $\sin 2x$ は、倍角の公式より $2 \sin x \cos x$ であり、これは分母 $2+\sin^2 x$ の導関数と一致する。 すなわち、次が成り立つ。

$$(2+\sin^2 x)' = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$$

これを利用して、与えられた定積分を次のように計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{2+\sin^2 x} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(2+\sin^2 x)'}{2+\sin^2 x} dx \\ &= \left[ \log (2+\sin^2 x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \end{aligned}$$

ここで、$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $2+\sin^2 \frac{\pi}{2} = 3$、$x = 0$ のとき $2+\sin^2 0 = 2$ である。 したがって、求める値は次のようになる。

$$\log 3 - \log 2 = \log \frac{3}{2}$$

解法2

$t = \sin^2 x$ とおく置換積分法を用いる。

両辺を $x$ で微分すると、次のようになる。

$$\frac{dt}{dx} = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$$

すなわち、$dt = \sin 2x dx$ である。 積分区間について、$x$ と $t$ の対応は以下の通りである。

$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \to & \frac{\pi}{2} \\ \hline t & 0 & \to & 1 \end{array}$$

これらを用いて、与式を $t$ の積分に書き換えて計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{2+\sin^2 x} dx &= \int_{0}^{1} \frac{1}{2+t} dt \\ &= \left[ \log (2+t) \right]_{0}^{1} \\ &= \log 3 - \log 2 \\ &= \log \frac{3}{2} \end{aligned}$$

解説

分子が分母の導関数となっている $\frac{f'(x)}{f(x)}$ の形を含む積分は、大学入試において頻出である。 本問は $\sin^2 x$ を微分すると $\sin 2x$ になるという事実を知っていれば、置換積分を明示的に行わずとも暗算レベルで処理できる。 三角関数の次数下げや倍角の公式と微分の関係は、瞬時に引き出せるように定着させておきたい。

答え

$\log \frac{3}{2}$