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数学3 定積分・面積問題 102 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x) = x(\log x)^2$ の導関数および第2次導関数を計算し、増減と凹凸を調べることで極値と変曲点を求める。面積計算については、関数のグラフの概形から積分区間を決定し、部分積分法を用いて定積分を計算する。その際、前の小問で求めた不定積分の結果を活用する。

解法1

(1)

$f(x) = x(\log x)^2$ を $x$ で微分する。積の微分公式より、

$$\begin{aligned} f'(x) &= 1 \cdot (\log x)^2 + x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \\ &= (\log x)^2 + 2\log x \\ &= \log x(\log x + 2) \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$\log x = 0$ または $\log x = -2$ であるから、

$$x = 1, \quad e^{-2}$$

$x > 0$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$e^{-2}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$(0)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

ここで、極値はそれぞれ以下のようになる。

極大値：$f(e^{-2}) = e^{-2}(\log e^{-2})^2 = e^{-2}(-2)^2 = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$ 極小値：$f(1) = 1(\log 1)^2 = 0$

(2)

$f'(x) = (\log x)^2 + 2\log x$ をさらに $x$ で微分する。

$$\begin{aligned} f''(x) &= 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{2}{x}(\log x + 1) \end{aligned}$$

$f''(x) = 0$ とすると、$\log x + 1 = 0$ より $\log x = -1$ であるから、

$$x = e^{-1}$$

$x = e^{-1}$ の前後で $f''(x)$ の符号は負から正へと変化するため、点 $(e^{-1}, f(e^{-1}))$ は変曲点である。 $y$ 座標は、

$$f(e^{-1}) = e^{-1}(\log e^{-1})^2 = e^{-1}(-1)^2 = e^{-1}$$

よって、変曲点の座標は $(e^{-1}, e^{-1})$ である。

(3)

部分積分法を用いて不定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int x \log x \,dx &= \int \left( \frac{x^2}{2} \right)' \log x \,dx \\ &= \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \,dx \\ &= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x \,dx \\ &= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned}$$

(4)

(2) より変曲点の座標は $(e^{-1}, e^{-1})$ であるから、これを通って $y$ 軸に平行な直線 $l$ の方程式は $x = e^{-1}$ である。 $x \geqq e^{-1}$ の範囲において、(1) の増減表より $y = f(x)$ のグラフは $x=1$ で $x$ 軸と接し、$f(x) \geqq 0$ である。したがって、$l$ と $y = f(x)$ のグラフおよび $x$ 軸とで囲まれた図形は、$e^{-1} \leqq x \leqq 1$ の範囲にある。求める面積 $S$ は次の定積分で表される。

$$S = \int_{e^{-1}}^{1} x(\log x)^2 \,dx$$

これを部分積分法を用いて計算する。その際、(3) で求めた $\int x \log x \,dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$ を利用する。

$$\begin{aligned} S &= \int_{e^{-1}}^{1} \left( \frac{x^2}{2} \right)' (\log x)^2 \,dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2} (\log x)^2 \right]_{e^{-1}}^{1} - \int_{e^{-1}}^{1} \frac{x^2}{2} \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \,dx \\ &= \left( 0 - \frac{e^{-2}}{2} (-1)^2 \right) - \int_{e^{-1}}^{1} x \log x \,dx \\ &= -\frac{1}{2e^2} - \left[ \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} \right]_{e^{-1}}^{1} \\ &= -\frac{1}{2e^2} - \left\{ \left( 0 - \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{e^{-2}}{2} (-1) - \frac{e^{-2}}{4} \right) \right\} \\ &= -\frac{1}{2e^2} - \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2e^2} + \frac{1}{4e^2} \right) \\ &= -\frac{1}{2e^2} + \frac{1}{4} - \frac{3}{4e^2} \\ &= \frac{1}{4} - \frac{5}{4e^2} \end{aligned}$$

解説

対数関数を含む関数の微分積分における標準的な問題である。増減・凹凸を調べるための微分計算、および部分積分法を繰り返し用いる定積分計算の確実な実行力が問われている。(3) の結果が (4) の計算の途中でそのまま利用できる誘導形式になっているため、途中の符号ミスに注意して丁寧に変形を進めることが重要である。図形の面積を求める際は、積分区間が $[e^{-1}, 1]$ となることをグラフの概形から正しく読み取る必要がある。