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数学3 定積分・面積問題 103 解説

方針・初手

定積分で表された関数 $F(x)$ の極値を調べるため、まず $x$ で微分して導関数 $F'(x)$ を求め、増減表を作成する。その後、部分積分法を用いて $F(x)$ を具体的に計算し、増減表から得られた最大値・最小値の候補である極値や区間の端点における値を比較して最大値と最小値を決定する。(2) では、それらの積を $a$ の2次関数として捉え、平方完成により定義域に注意しながら最小値を与える $a$ の値を求める。

解法1

(1)

$$F(x) = \int_0^x (t-a)\sin t dt$$

両辺を $x$ で微分すると、次のようになる。

$$F'(x) = (x-a)\sin x$$

$0 \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi$ において、$F'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$0 < a < \frac{\pi}{2}$ であるから、$x - a = 0$ より $x = a$、$\sin x = 0$ より $x = 0, \pi$ となる。

これらをもとに増減表を作成する。

$x$	$0$	$\cdots$	$a$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$\frac{3}{2}\pi$
$F'(x)$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$F(x)$	$F(0)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$F(\frac{3}{2}\pi)$

増減表より、最大値の候補は $F(0)$ または $F(\pi)$、最小値の候補は $F(a)$ または $F\left(\frac{3}{2}\pi\right)$ である。

次に、部分積分法を用いて $F(x)$ を計算する。

$$\begin{aligned} F(x) &= \int_0^x (t-a)(-\cos t)' dt \\ &= \left[ -(t-a)\cos t \right]_0^x - \int_0^x 1 \cdot (-\cos t) dt \\ &= -(x-a)\cos x - a + \left[ \sin t \right]_0^x \\ &= -(x-a)\cos x + \sin x - a \end{aligned}$$

各候補の値を求める。

$$\begin{aligned} F(0) &= -(-a) \cdot 1 + 0 - a = 0 \\ F(a) &= -0 \cdot \cos a + \sin a - a = \sin a - a \\ F(\pi) &= -(\pi-a) \cdot (-1) + 0 - a = \pi - 2a \\ F\left(\frac{3}{2}\pi\right) &= -\left(\frac{3}{2}\pi-a\right) \cdot 0 + (-1) - a = -a - 1 \end{aligned}$$

最大値の候補を比較する。

$0 < a < \frac{\pi}{2}$ より $0 < 2a < \pi$ であるから、$\pi - 2a > 0$ である。

したがって、$F(0) < F(\pi)$ となり、最大値は $\pi - 2a$ である。

最小値の候補を比較する。

$$\begin{aligned} F(a) - F\left(\frac{3}{2}\pi\right) &= (\sin a - a) - (-a - 1) \\ &= \sin a + 1 \end{aligned}$$

$0 < a < \frac{\pi}{2}$ より $\sin a > 0$ であるから、$\sin a + 1 > 0$ となる。

すなわち $F(a) > F\left(\frac{3}{2}\pi\right)$ となり、最小値は $-a - 1$ である。

(2)

(1) で求めた最大値と最小値の積を $g(a)$ とおく。

$$\begin{aligned} g(a) &= (\pi - 2a)(-a - 1) \\ &= 2a^2 + (2-\pi)a - \pi \\ &= 2\left( a^2 + \frac{2-\pi}{2}a \right) - \pi \\ &= 2\left( a + \frac{2-\pi}{4} \right)^2 - 2\left( \frac{2-\pi}{4} \right)^2 - \pi \end{aligned}$$

$g(a)$ は $a$ についての2次関数であり、放物線の軸は $a = \frac{\pi-2}{4}$ である。

ここで、$\pi > 3$ より $\pi - 2 > 0$ であるから $\frac{\pi-2}{4} > 0$ である。

また、

$$\begin{aligned} \frac{\pi}{2} - \frac{\pi-2}{4} &= \frac{2\pi - \pi + 2}{4} \\ &= \frac{\pi+2}{4} > 0 \end{aligned}$$

であるから、$\frac{\pi-2}{4} < \frac{\pi}{2}$ である。

よって、軸 $a = \frac{\pi-2}{4}$ は区間 $0 < a < \frac{\pi}{2}$ に含まれる。

したがって、$g(a)$ は $a = \frac{\pi-2}{4}$ のとき最小となる。

解説

定積分で表された関数の微分の基本公式 $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$ を用いて導関数を求め、増減を調べる定石問題である。最大値・最小値を決定する際は、極値だけでなく区間の端点における値も計算し、大小を比較する必要がある。大小比較では、$a$ の変域の条件を正しく活用すること。また、(2) では $a$ の2次関数の最小値問題に帰着されるが、頂点の $a$ 座標（軸）が定義域 $0 < a < \frac{\pi}{2}$ に含まれていることをきちんと記述し、確認することが求められる。