数学3 定積分・面積 問題 104 解説

方針・初手

与えられた連立不等式から、$y$ が存在するためには $\sin x \leqq \sin 2x$ が成り立つ必要がある。 まずは $0 \leqq x \leqq \pi$ の範囲においてこの三角不等式を解き、領域が存在する $x$ の範囲（積分区間）を特定する。 その後、区間における上側の曲線から下側の曲線を引いて定積分を行い、面積を計算する。

解法1

連立不等式 $\sin x \leqq y \leqq \sin 2x$ を満たす $y$ が存在するための条件は、

$$\sin x \leqq \sin 2x$$

である。2倍角の公式を用いて整理すると、

$$\sin 2x - \sin x \geqq 0$$

$$2\sin x \cos x - \sin x \geqq 0$$

$$\sin x (2\cos x - 1) \geqq 0$$

$0 \leqq x \leqq \pi$ のとき $\sin x \geqq 0$ であるから、この不等式が成り立つのは以下のいずれかの場合である。

(i) $\sin x = 0$ のとき $0 \leqq x \leqq \pi$ より、$x = 0, \pi$ である。

(ii) $2\cos x - 1 \geqq 0$ のとき $\cos x \geqq \frac{1}{2}$ であり、$0 \leqq x \leqq \pi$ より、$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ である。

これらより、不等式を満たす領域が存在する $x$ の範囲は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ と $x = \pi$ である。 $x = \pi$ においては領域は線分となり、面積をもたない。 したがって、面積をもつ領域の $x$ の範囲は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ であり、この範囲において常に $\sin x \leqq \sin 2x$ が成り立つ。

求める面積を $S$ とすると、

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 2x - \sin x) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{2}\cos 2x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \left( -\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3} \right) - \left( -\frac{1}{2}\cos 0 + \cos 0 \right) \\ &= \left\{ -\frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{1}{2} \right\} - \left( -\frac{1}{2} \cdot 1 + 1 \right) \\ &= \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}$$

解説

2つの曲線の上下関係と交点を正しく求めることが第一歩となる。 $y = \sin 2x$ のグラフは $y = \sin x$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍に縮小したものであるという概形を頭に描けると、立式がより確実になる。 三角関数の不等式を解く際は、両辺を $\sin x$ で不用意に割らないように注意が必要である。$\sin x = 0$ となる可能性を考慮し、因数分解して符号を調べるのが定石である。

答え

$\frac{1}{4}$