数学3 定積分・面積 問題 105 解説

方針・初手

(1) については、被積分関数が分数式で分母が $1+x^2$ の形をしているため、$x = \tan\theta$ と置換積分を行う。

(2) については、積分区間 $0 < x < 1$ における被積分関数の大小関係を評価する。不等式の左辺 $\frac{\pi}{4}$ が(1)の結果に等しいことに着目し、$1+x^4$ と $1+x^2$ の大小関係を比較する。右辺については、被積分関数が1より小さいことを示す。

解法1

(1)

$x = \tan\theta$ とおくと、

$$dx = \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta$$

積分区間について、$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{4}$ まで変化する。したがって、

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan^2\theta} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2\theta \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 d\theta \\ &= \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

(2)

まず、左側の不等式を示す。$0 < x < 1$ において、

$$x^4 < x^2$$

が成り立つ。両辺に $1$ を加えて、

$$1+x^4 < 1+x^2$$

両辺は正であるから、逆数をとると不等号の向きが反転し、

$$\frac{1}{1+x^4} > \frac{1}{1+x^2}$$

両辺を $x$ について $0$ から $1$ まで積分する。区間 $(0, 1)$ において常に等号が成立することはないため、

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^4} dx > \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx$$

(1)より右辺は $\frac{\pi}{4}$ であるから、

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^4} dx > \frac{\pi}{4}$$

次に、右側の不等式を示す。$0 < x < 1$ において、

$$x^4 > 0$$

であるから、両辺に $1$ を加えて、

$$1+x^4 > 1$$

逆数をとると、

$$\frac{1}{1+x^4} < 1$$

両辺を $x$ について $0$ から $1$ まで積分する。区間 $(0, 1)$ において常に等号が成立することはないため、

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^4} dx < \int_{0}^{1} 1 dx$$

ここで、右辺の積分を計算すると、

$$\int_{0}^{1} 1 dx = \left[ x \right]_{0}^{1} = 1$$

であるから、

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^4} dx < 1$$

以上より、

$$\frac{\pi}{4} < \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^4} dx < 1$$

が成り立つことが示された。

解説

(1)は $a^2+x^2$ を分母に持つ積分における典型的な置換積分である。$x = a \tan\theta$ と置くことで積分が可能となる。

(2)は定積分の不等式評価の基本問題である。原始関数が初等関数で表せない、あるいは計算が困難な定積分に対し、被積分関数の大小関係を利用して積分の値の範囲を評価する。本問では(1)の結果が誘導となっており、区間 $0 < x < 1$ における $x^4$ と $x^2$、および $x^4$ と $0$ の大小比較から、被積分関数を不等式で挟み込むという発想に自然に至ることができるかがポイントである。

答え

(1) $\frac{\pi}{4}$

(2) 不等式 $\frac{\pi}{4} < \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^4} dx < 1$ が成り立つことが示された。