トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 定積分・面積› 問題 107

数学3 定積分・面積問題 107 解説

方針・初手

与えられた式は $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形をしているため、定積分による極限の計算、いわゆる区分求積法を利用する。

解法1

求める極限値は、区分求積法を用いて定積分で表すことができる。

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cos^2 \frac{k\pi}{4n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \cdot \frac{k}{n} \right)$$

$$= \int_0^1 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} x \right) dx$$

半角の公式を用いて被積分関数の次数を下げる。

$$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} x \right) = \frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} x \right)}{2}$$

これを代入して積分を計算する。

$$\int_0^1 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} x \right) dx = \int_0^1 \frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} x \right)}{2} dx$$

$$= \frac{1}{2} \left[ x + \frac{2}{\pi} \sin \left( \frac{\pi}{2} x \right) \right]_0^1$$

$$= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2}{\pi} \sin \frac{\pi}{2} \right) - \frac{1}{2} \left( 0 + \frac{2}{\pi} \sin 0 \right)$$

$$= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2}{\pi} \cdot 1 \right)$$

$$= \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}$$

解説

区分求積法の基本問題である。$\frac{1}{n}$ と $\frac{k}{n}$ の形を見つけ出すことで、和の極限を $\int_0^1$ の定積分に置き換えることができる。三角関数の積分では、2乗の形が登場した際は半角の公式を利用して1次式に直すのが定石である。基本的な積分の計算ミスに気をつけたい。