数学3 定積分・面積 問題 109 解説

方針・初手

分数関数の積分において、（分子の次数）$\geqq$（分母の次数）である場合は、まず分子を分母で割り算し、分子の次数を分母の次数より小さくする「次数下げ」を行うのが基本である。または、分母を一つの文字で置換することで分子を展開・整理しやすくする方法も有効である。

解法1

被積分関数の分子を分母で割り、次数下げを行う。

$$\begin{aligned} \frac{x^2+2}{x+2} &= \frac{x^2-4+6}{x+2} \\ &= \frac{(x-2)(x+2)+6}{x+2} \\ &= x - 2 + \frac{6}{x+2} \end{aligned}$$

したがって、求める定積分は以下のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{x^2+2}{x+2} dx &= \int_{0}^{1} \left( x - 2 + \frac{6}{x+2} \right) dx \\ &= \left[ \frac{1}{2}x^2 - 2x + 6 \log|x+2| \right]_{0}^{1} \\ &= \left( \frac{1}{2} - 2 + 6 \log 3 \right) - \left( 0 - 0 + 6 \log 2 \right) \\ &= -\frac{3}{2} + 6 \log 3 - 6 \log 2 \\ &= -\frac{3}{2} + 6 \log \frac{3}{2} \end{aligned}$$

解法2

$x+2=t$ とおく置換積分法を用いる。

$dx = dt$ であり、積分区間は $x: 0 \to 1$ のとき $t: 2 \to 3$ となる。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{x^2+2}{x+2} dx &= \int_{2}^{3} \frac{(t-2)^2+2}{t} dt \\ &= \int_{2}^{3} \frac{t^2-4t+6}{t} dt \\ &= \int_{2}^{3} \left( t - 4 + \frac{6}{t} \right) dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^2 - 4t + 6 \log|t| \right]_{2}^{3} \\ &= \left( \frac{9}{2} - 12 + 6 \log 3 \right) - \left( 2 - 8 + 6 \log 2 \right) \\ &= -\frac{15}{2} + 6 \log 3 - (-6 + 6 \log 2) \\ &= -\frac{3}{2} + 6 \log \frac{3}{2} \end{aligned}$$

解説

有理関数の積分における最も基本かつ重要な処理である「分子の次数下げ」を問う問題である。被積分関数において、（分子の次数）$\geqq$（分母の次数）である場合は、必ず帯分数化（次数下げ）を行い、（分子の次数）$<$（分母の次数）の形に変形してから積分計算を行うのが鉄則である。

解法1のようにそのまま割り算を実行するか、解法2のように分母を丸ごと $t$ と置いてしまう方法のいずれもよく用いられる。どちらの手法も素早く正確に実行できるようにしておきたい。

答え

$-\frac{3}{2} + 6 \log \frac{3}{2}$