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数学3 定積分・面積問題 110 解説

方針・初手

絶対値を含む定積分であるから、積分区間における絶対値の中身の符号を調べ、絶対値を外すことが第一歩である。積分区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$\cos x - \frac{1}{2} = 0$ となる $x$ の値を境に積分を分割して計算する。

解法1

積分区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において、被積分関数内の $\cos x - \frac{1}{2}$ の符号が変わる境界を調べる。

$$\cos x - \frac{1}{2} = 0$$

これを解くと、$x = \frac{\pi}{3}$ である。

積分区間を $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ と $\frac{\pi}{3} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ に分けると、各区間における絶対値の扱いは以下のようになる。

(i) $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ のとき

$\cos x \geqq \frac{1}{2}$ であるから、

$$\left| \cos x - \frac{1}{2} \right| = \cos x - \frac{1}{2}$$

(ii) $\frac{\pi}{3} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき

$\cos x \leqq \frac{1}{2}$ であるから、

$$\left| \cos x - \frac{1}{2} \right| = -\cos x + \frac{1}{2}$$

したがって、求める定積分を $I$ とおくと、次のように区間を分割して計算できる。

$$\begin{aligned} I &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos x - \frac{1}{2} \right) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \left( -\cos x + \frac{1}{2} \right) dx \\ &= \left[ \sin x - \frac{1}{2}x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} + \left[ -\sin x + \frac{1}{2}x \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left( \sin \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} \right) - 0 + \left( -\sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\sin \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} \right) \\ &= \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \right) + \left( -1 + \frac{\pi}{4} \right) - \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} - 1 + \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \\ &= \sqrt{3} - 1 + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} \\ &= \sqrt{3} - 1 - \frac{\pi}{12} \end{aligned}$$

解説

絶対値記号を含む関数の定積分についての基本的な問題である。定積分の性質を用いて、被積分関数の符号が変化しないような区間に定積分を分割して計算する。三角関数の値の評価や、基本的な定積分計算を正確に行うことが求められる。積分の上下端を代入する際の引き算や、マイナスの符号による計算ミスが起きやすい箇所なので、注意深く進める必要がある。