数学3 定積分・面積 問題 111 解説

方針・初手

被積分関数に $x^2+1$ とその微分である $2x$ の定数倍が含まれていることに着目する。$t = x^2+1$ とおく置換積分を行うか、積分関数の定数項を調整して部分積分を行う方針をとる。

解法1

$t = x^2+1$ とおく。

両辺を $x$ で微分すると $\frac{dt}{dx} = 2x$ より、$x dx = \frac{1}{2} dt$ となる。 また、積分区間は以下のように対応する。 $x : 0 \to 1$ のとき、$t : 1 \to 2$

したがって、与えられた定積分は次のように置換積分できる。

$$\int_{0}^{1} x \log (x^2 + 1) dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{2} \log t dt$$

$\int \log t dt = t \log t - t + C$（$C$ は積分定数）であることを用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int_{1}^{2} \frac{1}{2} \log t dt &= \frac{1}{2} \Big[ t \log t - t \Big]_{1}^{2} \\ &= \frac{1}{2} \big\{ (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) \big\} \\ &= \frac{1}{2} (2 \log 2 - 2 - 0 + 1) \\ &= \frac{1}{2} (2 \log 2 - 1) \\ &= \log 2 - \frac{1}{2} \end{aligned}$$

解法2

関数 $x$ を $\left\{ \frac{1}{2} (x^2 + 1) \right\}'$ と見て部分積分を行う。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x \log (x^2 + 1) dx &= \int_{0}^{1} \left\{ \frac{1}{2} (x^2 + 1) \right\}' \log (x^2 + 1) dx \\ &= \left[ \frac{1}{2} (x^2 + 1) \log (x^2 + 1) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} (x^2 + 1) \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} dx \\ &= \left( \frac{1}{2} \cdot 2 \log 2 - \frac{1}{2} \cdot 1 \log 1 \right) - \int_{0}^{1} x dx \\ &= \log 2 - \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{1} \\ &= \log 2 - \frac{1}{2} \end{aligned}$$

解説

対数関数を含む積分では部分積分を用いるのが定石である。本問では $\log$ の真数部分である $x^2+1$ の導関数 $2x$ の定数倍が掛けられているため、$t = x^2+1$ と置換することで見通しよく計算できる。

また、解法2で示したように、部分積分を用いる場合でも、単に $x$ を $\left(\frac{1}{2}x^2\right)'$ とするのではなく、積分定数を補って $\left\{\frac{1}{2}(x^2+1)\right\}'$ とすることで、その後の積分計算で分母が綺麗に約分され、計算の手間を大幅に省くことができる。これは計算ミスを防ぐための有効なテクニックである。

答え

$$\log 2 - \frac{1}{2}$$