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数学3 定積分・面積問題 112 解説

方針・初手

与えられた複素数の和の分母を実数化し、実部と虚部に分けて和の形を整理する。各項を $\frac{1}{n}$ でくくることで区分求積法が適用できる形 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$ に変形する。

解法1

与えられた複素数の和について、分母と分子に $n - ik$ を掛けて分母を実数化する。

$$\frac{1}{n+ik} = \frac{n-ik}{(n+ik)(n-ik)} = \frac{n-ik}{n^2+k^2} = \frac{n}{n^2+k^2} + i \left( -\frac{k}{n^2+k^2} \right)$$

これより、実部 $A_n$ と虚部 $B_n$ は次のように表される。

$$A_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}$$

$$B_n = \sum_{k=1}^n \left( -\frac{k}{n^2+k^2} \right) = - \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2}$$

それぞれの極限を区分求積法を用いて計算するために、式を $\frac{1}{n}$ でくくり出す形に変形する。

$$A_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{n^2}{n^2+k^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}$$

$$B_n = -\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{nk}{n^2+k^2} = -\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n}}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}$$

$n \to \infty$ とすると、区分求積法によりそれぞれ定積分に変換される。

$$\lim_{n \to \infty} A_n = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} \, dx$$

$$\lim_{n \to \infty} B_n = -\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \, dx$$

まず、$A_n$ の極限を求める。$x = \tan \theta$ とおくと、$dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} \, d\theta$ であり、積分区間は $x$ が $0$ から $1$ のとき、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{4}$ となる。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} A_n &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \, d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \, d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, d\theta \\ &= \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

次に、$B_n$ の極限を求める。被積分関数は分子が分母の導関数の定数倍になっていることに着目する。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} B_n &= -\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \, dx \\ &= -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{(1+x^2)'}{1+x^2} \, dx \\ &= -\frac{1}{2} \left[ \log(1+x^2) \right]_{0}^{1} \\ &= -\frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) \\ &= -\frac{1}{2} \log 2 \end{aligned}$$

解説

複素数の数列の和の極限を求める問題である。そのままでは極限を考えにくいため、実部と虚部に分けて実数列の極限の問題に帰着させることが基本的な解法となる。

式を変形した後は、区分求積法の典型的な形が現れる。$\int \frac{1}{1+x^2} dx$ は $x = \tan \theta$ と置換する定石的な積分であり、$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ は $\frac{f'(x)}{f(x)}$ の形を作る基本的な積分である。基礎的な計算力が問われる標準問題である。