数学3 定積分・面積 問題 113 解説

方針・初手

与えられた等式の右辺に含まれる定積分 $\int_0^1 \frac{1}{e^t+1} dt$ と $\int_0^1 \frac{f(t)}{e^t+1} dt$ は、積分区間が定数であり、被積分関数に変数 $x$ を含まないため、どちらも定数となる。 したがって、これらをそれぞれ定数 $a$, $b$ とおくことで、$f(x)$ を $a e^x + b$ の形で表すことができる。その後、おいた文字の定義式に $f(x)$ を代入し、$a$, $b$ の値を決定する。

解法1

定数 $a$, $b$ を次のように定める。

$$a = \int_0^1 \frac{1}{e^t+1} dt$$

$$b = \int_0^1 \frac{f(t)}{e^t+1} dt$$

これにより、与えられた関係式は次のように表される。

$$f(x) = a e^x + b$$

まず、$a$ の値を計算する。分母と分子に $e^{-t}$ をかけると、

$$a = \int_0^1 \frac{e^{-t}}{1 + e^{-t}} dt = \int_0^1 \frac{-(1 + e^{-t})'}{1 + e^{-t}} dt$$

$$= \left[ -\log(1 + e^{-t}) \right]_0^1 = -\log(1 + e^{-1}) + \log(1 + 1)$$

$$= -\log\frac{e+1}{e} + \log 2 = \log\frac{2e}{e+1}$$

次に、$b$ の式に $f(t) = a e^t + b$ を代入して計算する。

$$b = \int_0^1 \frac{a e^t + b}{e^t+1} dt = a \int_0^1 \frac{e^t}{e^t+1} dt + b \int_0^1 \frac{1}{e^t+1} dt$$

ここで、右辺の第2項の積分は $a$ の定義そのものであるため、

$$b = a \left[ \log(e^t + 1) \right]_0^1 + ab$$

$$b = a (\log(e+1) - \log 2) + ab$$

$$b = a \log\frac{e+1}{2} + ab$$

この式を $b$ について整理する。

$$b(1 - a) = a \log\frac{e+1}{2}$$

ここで、$1 - a$ を計算すると、

$$1 - a = 1 - \log\frac{2e}{e+1} = \log e - \log\frac{2e}{e+1} = \log\left(e \cdot \frac{e+1}{2e}\right) = \log\frac{e+1}{2}$$

となる。これを先ほどの式に代入すると、

$$b \log\frac{e+1}{2} = a \log\frac{e+1}{2}$$

自然対数の底 $e$ は $e > 1$ を満たすため、$\frac{e+1}{2} > 1$ である。ゆえに $\log\frac{e+1}{2} \neq 0$ となる。 したがって、両辺を $\log\frac{e+1}{2}$ で割ることができ、

$$b = a = \log\frac{2e}{e+1}$$

以上より、$a$ と $b$ の値が求まったので、$f(x)$ は次のように定まる。

$$f(x) = \left( \log\frac{2e}{e+1} \right) e^x + \log\frac{2e}{e+1} = \left( \log\frac{2e}{e+1} \right) (e^x + 1)$$

解説

定積分を定数とおいて関数を決定する、積分方程式の典型問題である。 計算の工夫として、$\int \frac{1}{e^t+1} dt$ の積分において、分母分子に $e^{-t}$ をかけて分子を分母の微分の形にする手法は頻出である。 また、$b$ を求める方程式において、$1-a$ を対数の形に直して整理することで計算がスムーズに進む。ここで底の条件や真数の範囲を意識し、割り算を行う際に $\log\frac{e+1}{2} \neq 0$ であることを明記することが数学的な厳密性を保つ上で重要である。

答え

$f(x) = \left( \log\frac{2e}{e+1} \right) (e^x + 1)$