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数学3 定積分・面積問題 114 解説

方針・初手

(1)は対数関数の単調増加性を利用して和の各項を最大値で置き換え、上からの評価を行う。(2)も同様に関数の単調性を利用して、長方形の面積と定積分の値を比較する。(1)と(2)の結果を用いて和の上下の評価式を作り、はさみうちの原理を用いて(3)の極限を求める。

解法1

(1)

対数関数 $y = \log x$ は $x > 0$ において単調増加である。したがって、$n \geqq 2$ のとき、各整数 $k$ ($2 \leqq k \leqq n$) に対して、

$$\log k \leqq \log n$$

が成り立つ。この両辺について、$k=2$ から $n$ までの和をとると、

$$\sum_{k=2}^{n} \log k \leqq \sum_{k=2}^{n} \log n$$

となる。ここで、右辺は定数 $\log n$ を $n-2+1 = n-1$ 個足し合わせたものであるから、

$$\sum_{k=2}^{n} \log n = (n-1)\log n$$

よって、

$$\sum_{k=2}^{n} \log k \leqq (n-1)\log n$$

が成り立つ。

(2)

$y = \log x$ は $x > 0$ において単調増加であるから、$k \geqq 2$ を満たす整数 $k$ について、区間 $k-1 \leqq x \leqq k$ において、

$$\log x \leqq \log k$$

が成り立つ。この両辺を区間 $[k-1, k]$ で定積分すると、

$$\int_{k-1}^{k} \log x \,dx \leqq \int_{k-1}^{k} \log k \,dx$$

右辺の積分を計算すると、

$$\int_{k-1}^{k} \log k \,dx = \log k \cdot [x]_{k-1}^{k} = \log k \cdot \{k - (k-1)\} = \log k$$

したがって、

$$\int_{k-1}^{k} \log x \,dx \leqq \log k$$

が成り立つ。

(3)

(1)の不等式の両辺を正の数 $n\log n$ ($n \geqq 2$) で割ると、

$$\frac{1}{n\log n} \sum_{k=2}^{n} \log k \leqq \frac{(n-1)\log n}{n\log n} = 1 - \frac{1}{n}$$

となる。次に、(2)の不等式の両辺について、$k=2$ から $n$ までの和をとると、

$$\sum_{k=2}^{n} \int_{k-1}^{k} \log x \,dx \leqq \sum_{k=2}^{n} \log k$$

左辺の積分は区間がつながるため、

$$\sum_{k=2}^{n} \int_{k-1}^{k} \log x \,dx = \int_{1}^{n} \log x \,dx$$

と計算できる。この定積分を部分積分法を用いて求めると、

$$\int_{1}^{n} \log x \,dx = [x\log x - x]_{1}^{n} = (n\log n - n) - (1\log 1 - 1) = n\log n - n + 1$$

したがって、

$$n\log n - n + 1 \leqq \sum_{k=2}^{n} \log k$$

が得られる。この不等式の両辺を正の数 $n\log n$ で割ると、

$$\frac{n\log n - n + 1}{n\log n} \leqq \frac{1}{n\log n} \sum_{k=2}^{n} \log k$$

すなわち、

$$1 - \frac{1}{\log n} + \frac{1}{n\log n} \leqq \frac{1}{n\log n} \sum_{k=2}^{n} \log k$$

以上により、求める極限の式は次のように評価される。

$$1 - \frac{1}{\log n} + \frac{1}{n\log n} \leqq \frac{1}{n\log n} \sum_{k=2}^{n} \log k \leqq 1 - \frac{1}{n}$$

ここで、$n \to \infty$ のときの左辺および右辺の極限を考えると、

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{\log n} + \frac{1}{n\log n} \right) = 1 - 0 + 0 = 1$$

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = 1 - 0 = 1$$

である。両端の極限値が一致するため、はさみうちの原理により、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n\log n} \sum_{k=2}^{n} \log k = 1$$

となる。

解説

関数の単調性を利用して数列の和と定積分を比較し、極限を求める典型的な問題である。(1)と(2)が(3)の極限を求めるための直接的な誘導となっている。(1)で数列の和の上からの評価、(2)で下からの評価を行っている。はさみうちの原理を適用する際は、極限をとる前に不等式の形を整え、両端の極限値が一致することを確実に示す必要がある。また、(2)のような「面積比較による和と積分の不等式」は、図をイメージして自力で立式できるようにしておくことが望ましい。