数学3 定積分・面積 問題 115 解説

方針・初手

積分方程式の定石に従い、まずは $x=0$ を代入して関数 $f(0)$ の値を求める。次に、被積分関数に $x$ と $t$ が混在しているため、括弧を展開して $x$ を積分の外に出してから、両辺を $x$ で微分する方針をとる。あるいは、部分積分を用いて積分を先に計算してしまう方法も有効である。 (2)は積の微分公式を用いれば(1)の結果からただちに導かれる。(3)は(2)の両辺を積分することで $f(x)$ を求める。

解法1

(1) 与えられた等式

$$f(x) = x^2 - \int_{0}^{x} (x-t)f'(t)dt$$

に $x=0$ を代入すると、

$$f(0) = 0^2 - \int_{0}^{0} (0-t)f'(t)dt = 0$$

となる。 次に、与式の右辺を展開し、$x$ を積分の外に出すと、

$$f(x) = x^2 - x\int_{0}^{x} f'(t)dt + \int_{0}^{x} tf'(t)dt$$

となる。この両辺を $x$ について微分すると、積の微分法より

$$\begin{aligned} f'(x) &= 2x - \left( 1 \cdot \int_{0}^{x} f'(t)dt + x \cdot f'(x) \right) + xf'(x) \\ &= 2x - \int_{0}^{x} f'(t)dt \end{aligned}$$

となる。ここで、

$$\int_{0}^{x} f'(t)dt = \left[ f(t) \right]_{0}^{x} = f(x) - f(0)$$

であり、$f(0)=0$ であるから、

$$\int_{0}^{x} f'(t)dt = f(x)$$

である。よって、

$$f'(x) = 2x - f(x)$$

が成り立つ。

(2) 積の微分法を用いると、

$$\begin{aligned} \{e^x f(x)\}' &= (e^x)' f(x) + e^x f'(x) \\ &= e^x f(x) + e^x f'(x) \\ &= e^x \{ f(x) + f'(x) \} \end{aligned}$$

となる。(1)より $f(x) + f'(x) = 2x$ であるから、これを代入して

$$\{e^x f(x)\}' = 2x e^x$$

が成り立つ。

(3) (2)の結果の両辺を $x$ について積分すると、部分積分法より

$$\begin{aligned} e^x f(x) &= \int 2x e^x dx \\ &= \int 2x (e^x)' dx \\ &= 2x e^x - \int 2 e^x dx \\ &= 2x e^x - 2e^x + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned}$$

となる。ここで、$x=0$ を代入すると、

$$e^0 f(0) = 0 - 2e^0 + C$$

$f(0)=0$ であるから、$0 = -2 + C$ より $C=2$ となる。 したがって、

$$e^x f(x) = 2(x-1)e^x + 2$$

両辺に $e^{-x}$ を掛けて整理すると、

$$f(x) = 2(x-1) + 2e^{-x}$$

となる。

解法2

(1) 与えられた等式

$$f(x) = x^2 - \int_{0}^{x} (x-t)f'(t)dt$$

において、部分積分法を用いて右辺の定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{x} (x-t)f'(t)dt &= \int_{0}^{x} (x-t)\{f(t)\}'dt \\ &= \left[ (x-t)f(t) \right]_{0}^{x} - \int_{0}^{x} (-1)f(t)dt \\ &= (0 \cdot f(x) - xf(0)) + \int_{0}^{x} f(t)dt \\ &= -xf(0) + \int_{0}^{x} f(t)dt \end{aligned}$$

よって、与式は次のように変形できる。

$$f(x) = x^2 + xf(0) - \int_{0}^{x} f(t)dt \quad \cdots (*)$$

ここで、$(*)$ に $x=0$ を代入すると、

$$f(0) = 0^2 + 0 \cdot f(0) - \int_{0}^{0} f(t)dt = 0$$

となる。 これより、$(*)$ は

$$f(x) = x^2 - \int_{0}^{x} f(t)dt$$

となるので、両辺を微積分学の基本定理を用いて $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 2x - f(x)$$

が成り立つ。

※ (2)、(3) は解法1と同様。

解説

定積分で表された関数の微分に関する典型的な問題である。被積分関数に変数 $x$ が含まれる場合は、そのまま微分するのではなく、展開して $x$ を積分の外にくくり出してから積の微分法を用いるのが基本の処理である（解法1）。 また、本問のように $(x-t)f'(t)$ という形をしている場合、部分積分を用いることで積分計算を非常にすっきりと処理できることもある（解法2）。 (2)で示された式 $\{e^x f(x)\}' = 2xe^x$ は、(1)で得られた微分方程式 $f'(x) + f(x) = 2x$ を解くための誘導となっている（積分因子の乗法）。大学入試では頻出の形であり、この誘導がなくても、両辺に $e^x$ を掛けることで自力で解を導けるようにしておきたい。

答え

(1)

$f(0) = 0$（証明は解法に記載）

(2)

略（証明は解法に記載）

(3)

$f(x) = 2x - 2 + 2e^{-x}$