トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 定積分・面積› 問題 116

数学3 定積分・面積問題 116 解説

方針・初手

媒介変数で表された曲線の接線の方程式は、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算して接線の傾き $\frac{dy}{dx}$ を求めることから始める。接線の方程式が求まれば、座標軸との交点を求めて三角形の面積を計算し、与えられた変数 $\alpha$ を用いて表す。最後に、$\theta$ の変域から $\alpha$ の変域を求め、面積 $S$ の取り得る値の範囲を調べる。

解法1

(1)

$x = \frac{\cos t}{1 - \sin t}$ を $t$ について微分すると、商の微分法より

$$\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{-\sin t (1 - \sin t) - \cos t (-\cos t)}{(1 - \sin t)^2} \\ &= \frac{-\sin t + \sin^2 t + \cos^2 t}{(1 - \sin t)^2} \\ &= \frac{1 - \sin t}{(1 - \sin t)^2} \\ &= \frac{1}{1 - \sin t} \end{aligned}$$

$y = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$ を $t$ について微分すると、同様に

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= \frac{\cos t (1 - \cos t) - \sin t (\sin t)}{(1 - \cos t)^2} \\ &= \frac{\cos t - \cos^2 t - \sin^2 t}{(1 - \cos t)^2} \\ &= \frac{\cos t - 1}{(1 - \cos t)^2} \\ &= \frac{-1}{1 - \cos t} \end{aligned}$$

$t = \theta$ のとき、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であるから、$1 - \sin \theta \neq 0$ かつ $1 - \cos \theta \neq 0$ である。点 $\text{P}$ における接線 $l$ の傾きは

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \Bigg|_{t=\theta} = \frac{-\frac{1}{1 - \cos \theta}}{\frac{1}{1 - \sin \theta}} = -\frac{1 - \sin \theta}{1 - \cos \theta}$$

よって、接線 $l$ の方程式は

$$y - \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = -\frac{1 - \sin \theta}{1 - \cos \theta} \left( x - \frac{\cos \theta}{1 - \sin \theta} \right)$$

分母を払って整理すると

$$(1 - \cos \theta)y - \sin \theta = -(1 - \sin \theta)x + \cos \theta$$

$$(1 - \sin \theta)x + (1 - \cos \theta)y = \sin \theta + \cos \theta$$

(2)

接線 $l$ と $x$ 軸、 $y$ 軸との交点をそれぞれ求める。 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において、$1 - \sin \theta > 0$ かつ $1 - \cos \theta > 0$ である。

$y = 0$ とすると、$(1 - \sin \theta)x = \sin \theta + \cos \theta$ より

$$x = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{1 - \sin \theta}$$

$x = 0$ とすると、$(1 - \cos \theta)y = \sin \theta + \cos \theta$ より

$$y = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{1 - \cos \theta}$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\sin \theta + \cos \theta > 0$ であるから、$x$ 切片、 $y$ 切片ともに正である。したがって、三角形の面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin \theta + \cos \theta}{1 - \sin \theta} \cdot \frac{\sin \theta + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{(\sin \theta + \cos \theta)^2}{2(1 - \sin \theta)(1 - \cos \theta)}$$

ここで、$\alpha = \sin \theta + \cos \theta$ より、両辺を2乗すると

$$\alpha^2 = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$$

よって、$\sin \theta \cos \theta = \frac{\alpha^2 - 1}{2}$ である。これを $S$ の分母に代入して整理する。分母の展開式は

$$\begin{aligned} 2(1 - \sin \theta)(1 - \cos \theta) &= 2(1 - \sin \theta - \cos \theta + \sin \theta \cos \theta) \\ &= 2\left(1 - \alpha + \frac{\alpha^2 - 1}{2}\right) \\ &= 2 - 2\alpha + \alpha^2 - 1 \\ &= \alpha^2 - 2\alpha + 1 \\ &= (\alpha - 1)^2 \end{aligned}$$

分子は $\alpha^2$ であるから、面積 $S$ は

$$S = \frac{\alpha^2}{(\alpha - 1)^2}$$

(3)

$\alpha = \sin \theta + \cos \theta$ を三角関数の合成により変形する。

$$\alpha = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$ であるから

$$\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$$

辺々に $\sqrt{2}$ を掛けて、$\alpha$ の値の範囲は

$$1 < \alpha \leqq \sqrt{2}$$

面積 $S$ を $\alpha$ について整理すると

$$S = \left(\frac{\alpha}{\alpha - 1}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{\alpha - 1}\right)^2$$

ここで、$f(\alpha) = 1 + \frac{1}{\alpha - 1}$ とおく。 $1 < \alpha \leqq \sqrt{2}$ において、$0 < \alpha - 1 \leqq \sqrt{2} - 1$ であるから

$$\frac{1}{\alpha - 1} \geqq \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$$

したがって、$f(\alpha) \geqq 2 + \sqrt{2}$ である。さらに、$\alpha \to 1+0$ のとき $\frac{1}{\alpha - 1} \to \infty$ となるので $f(\alpha)$ は上限を持たない。

これより、$S = \{f(\alpha)\}^2$ の取り得る値の範囲は

$$S \geqq (2 + \sqrt{2})^2 = 6 + 4\sqrt{2}$$

解説

媒介変数表示の微分の基本、図形の面積の立式、そして三角関数の合成を用いた値の範囲の特定という、微分法と三角関数の基礎力が総合的に問われる標準的な問題である。

(1)の微分の計算はやや煩雑に見えるが、商の微分法を丁寧に適用することで、綺麗に約分される形になっている。(2)では対称式のような関係に着目し、和 $\sin \theta + \cos \theta$ から積 $\sin \theta \cos \theta$ を導き出す定石を用いる。(3)では、$S = \frac{\alpha^2}{(\alpha - 1)^2}$ の関数の値域を調べる際、そのまま微分するよりも、$\frac{\alpha}{\alpha - 1} = 1 + \frac{1}{\alpha - 1}$ と帯分数のように変形することで、グラフの概形や値の増減が容易に捉えられるようになり、計算ミスも防ぐことができる。