数学3 定積分・面積 問題 117 解説

方針・初手

(1)は指数関数と三角関数の積の積分であるため、部分積分を2回実行して同形を出現させるか、未定係数法を用いて処理する。 (2)は絶対値記号を含む定積分である。積分区間における絶対値の中身の符号を調べ、区間を分割して計算する。

解法1

(1)

求める不定積分を $I$ とおく。

$$I = \int e^{-x} \sin 2x dx$$

部分積分法を用いる。

$$\begin{aligned} I &= \int (-e^{-x})' \sin 2x dx \\ &= -e^{-x} \sin 2x - \int (-e^{-x}) \cdot (2 \cos 2x) dx \\ &= -e^{-x} \sin 2x + 2 \int e^{-x} \cos 2x dx \end{aligned}$$

さらに部分積分を行う。

$$\begin{aligned} I &= -e^{-x} \sin 2x + 2 \int (-e^{-x})' \cos 2x dx \\ &= -e^{-x} \sin 2x + 2 \left\{ -e^{-x} \cos 2x - \int (-e^{-x}) \cdot (-2 \sin 2x) dx \right\} \\ &= -e^{-x} \sin 2x - 2e^{-x} \cos 2x - 4 \int e^{-x} \sin 2x dx \\ &= -e^{-x} (\sin 2x + 2 \cos 2x) - 4I \end{aligned}$$

これを $I$ について解く。

$$5I = -e^{-x} (\sin 2x + 2 \cos 2x)$$

よって、積分定数を $C$ とすると、求める不定積分は以下のようになる。

$$I = -\frac{1}{5} e^{-x} (\sin 2x + 2 \cos 2x) + C$$

(2)

$0 \leqq x \leqq \pi$ の積分区間において、$2x$ の範囲は $0 \leqq 2x \leqq 2\pi$ である。 $\sin 2x$ の符号が変わる境界は $2x = \pi$、すなわち $x = \frac{\pi}{2}$ である。

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin 2x \geqq 0$ $\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$ のとき、$\sin 2x \leqq 0$

したがって、定積分は次のように区間を分割できる。

$$\int_0^\pi e^{-x} |\sin 2x| dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \sin 2x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi e^{-x} (-\sin 2x) dx$$

(1) の結果より、$F(x) = -\frac{1}{5} e^{-x} (\sin 2x + 2 \cos 2x)$ とおくと、原始関数の一つは $F(x)$ である。

$$\begin{aligned} \int_0^\pi e^{-x} |\sin 2x| dx &= \Bigl[ F(x) \Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} - \Bigl[ F(x) \Bigr]_{\frac{\pi}{2}}^\pi \\ &= \left( F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) \right) - \left( F(\pi) - F\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) \\ &= 2F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) - F(\pi) \end{aligned}$$

ここで、各値を計算する。

$$\begin{aligned} F(0) &= -\frac{1}{5} e^0 (\sin 0 + 2 \cos 0) = -\frac{2}{5} \\ F\left(\frac{\pi}{2}\right) &= -\frac{1}{5} e^{-\frac{\pi}{2}} (\sin \pi + 2 \cos \pi) = -\frac{1}{5} e^{-\frac{\pi}{2}} \cdot (-2) = \frac{2}{5} e^{-\frac{\pi}{2}} \\ F(\pi) &= -\frac{1}{5} e^{-\pi} (\sin 2\pi + 2 \cos 2\pi) = -\frac{1}{5} e^{-\pi} \cdot 2 = -\frac{2}{5} e^{-\pi} \end{aligned}$$

これらを代入してまとめる。

$$\begin{aligned} 2F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) - F(\pi) &= 2 \left( \frac{2}{5} e^{-\frac{\pi}{2}} \right) - \left( -\frac{2}{5} \right) - \left( -\frac{2}{5} e^{-\pi} \right) \\ &= \frac{4}{5} e^{-\frac{\pi}{2}} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} e^{-\pi} \\ &= \frac{2}{5} (e^{-\pi} + 2e^{-\frac{\pi}{2}} + 1) \\ &= \frac{2}{5} (e^{-\frac{\pi}{2}} + 1)^2 \end{aligned}$$

解法2

(1)

微分の逆演算として不定積分を求める未定係数法を用いる。 $e^{-x} \sin 2x$ を積分すると、定数倍の $e^{-x} \sin 2x$ と $e^{-x} \cos 2x$ の一次結合になることが予想される。 そこで、定数 $a, b$ を用いて次のように仮定する。

$$(a e^{-x} \sin 2x + b e^{-x} \cos 2x)' = e^{-x} \sin 2x$$

左辺を微分して整理する。

$$\begin{aligned} &(a e^{-x} \sin 2x + b e^{-x} \cos 2x)' \\ &= a (-e^{-x} \sin 2x + 2e^{-x} \cos 2x) + b (-e^{-x} \cos 2x - 2e^{-x} \sin 2x) \\ &= (-a - 2b)e^{-x} \sin 2x + (2a - b)e^{-x} \cos 2x \end{aligned}$$

これが常に $e^{-x} \sin 2x$ と等しくなるため、両辺の係数を比較する。

$$\begin{cases} -a - 2b = 1 \\ 2a - b = 0 \end{cases}$$

第2式より $b = 2a$ となる。これを第1式に代入する。

$$-a - 2(2a) = 1 \iff -5a = 1 \iff a = -\frac{1}{5}$$

したがって、$b = -\frac{2}{5}$ と求まる。 ゆえに、積分定数を $C$ として求める不定積分は以下のようになる。

$$\int e^{-x} \sin 2x dx = -\frac{1}{5} e^{-x} \sin 2x - \frac{2}{5} e^{-x} \cos 2x + C = -\frac{1}{5} e^{-x} (\sin 2x + 2 \cos 2x) + C$$

解説

指数関数と三角関数の積の積分は、大学入試における典型問題である。解法1のように部分積分を2回繰り返して自身と同形の式を作る方法と、解法2のように微分して係数を比較する未定係数法の2つのアプローチが標準的である。試験の際は自分の計算しやすい方法を選択するとよい。

(2)の絶対値を含む定積分では、積分区間における符号変化に注意する。区間を分割した後は、(1)で求めた不定積分の結果（原始関数）を活用することで、計算量を減らしミスを防ぐことができる。最終的な定積分の計算結果は平方の形に整理できるため、そこまで変形できると美しい。

答え

(1) $-\frac{1}{5} e^{-x} (\sin 2x + 2 \cos 2x) + C$ （$C$ は積分定数）

(2) $\frac{2}{5} \left( e^{-\frac{\pi}{2}} + 1 \right)^2$