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数学3 定積分・面積問題 119 解説

方針・初手

点 $C$ の座標を $\theta$ を用いて立式し、ベクトルや三角比を用いて点 $P$ の座標を求める。(2)における線分 $OP$ の長さの積分は、半角の公式を用いて根号を外し、被積分関数を積分しやすい形に変形することがポイントとなる。

解法1

(1) 点 $C$ は点 $A(1, 0)$ を中心とする半径 $1$ の円周上にあり、線分 $AB$ が $x$ 軸の正の方向であるから、$\angle CAB = \theta$ を用いて、点 $C$ の座標は

$$C(1+\cos\theta, \sin\theta)$$

と表せる。また、$C$ から $x$ 軸上にある線分 $OB$ に下ろした垂線の足 $D$ は、$C$ と $x$ 座標が等しいため、

$$D(1+\cos\theta, 0)$$

となる。点 $P$ は直線 $OC$ 上の点であるから、実数 $k$ を用いて $\vec{OP} = k\vec{OC}$ とおける。 $DP \perp OC$ より $\vec{DP} \cdot \vec{OC} = 0$ である。 $\vec{DP} = \vec{OP} - \vec{OD} = k\vec{OC} - \vec{OD}$ を代入すると、

$$(k\vec{OC} - \vec{OD}) \cdot \vec{OC} = 0$$

$$k|\vec{OC}|^2 - \vec{OD} \cdot \vec{OC} = 0$$

ここで、それぞれの値を計算すると、

$$\vec{OD} \cdot \vec{OC} = (1+\cos\theta)(1+\cos\theta) + 0 \cdot \sin\theta = (1+\cos\theta)^2$$

$$|\vec{OC}|^2 = (1+\cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2(1+\cos\theta)$$

$0 < \theta < \pi$ より $\cos\theta > -1$ であるため、$1+\cos\theta \neq 0$ となり $|\vec{OC}|^2 \neq 0$ である。よって、

$$k = \frac{(1+\cos\theta)^2}{2(1+\cos\theta)} = \frac{1+\cos\theta}{2}$$

したがって、$\vec{OP}$ の成分は

$$\vec{OP} = \frac{1+\cos\theta}{2} (1+\cos\theta, \sin\theta) = \left( \frac{(1+\cos\theta)^2}{2}, \frac{(1+\cos\theta)\sin\theta}{2} \right)$$

となり、これが点 $P$ の座標である。

(2) 線分 $OP$ の長さ $r$ は $r = |\vec{OP}|$ であるから、

$$r = |k| |\vec{OC}| = \left| \frac{1+\cos\theta}{2} \right| \sqrt{2(1+\cos\theta)}$$

$0 < \theta < \pi$ より $1+\cos\theta > 0$ であるため、絶対値記号をそのまま外して、

$$r = \frac{1+\cos\theta}{2} \sqrt{2(1+\cos\theta)}$$

半角の公式 $1+\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$ を用いると、

$$r = \frac{2\cos^2\frac{\theta}{2}}{2} \sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}} = \cos^2\frac{\theta}{2} \cdot 2\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|$$

$0 < \theta < \pi$ より $0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\cos\frac{\theta}{2} > 0$ である。したがって、

$$r = 2\cos^3\frac{\theta}{2}$$

次に、求める定積分を $I$ とする。

$$I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} 2\cos^3\frac{\theta}{2} d\theta$$

$t = \frac{\theta}{2}$ とおくと、$d\theta = 2 dt$ であり、$\theta$ が $\frac{\pi}{3}$ から $\frac{2\pi}{3}$ まで変化するとき、$t$ は $\frac{\pi}{6}$ から $\frac{\pi}{3}$ まで変化する。

$$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 2\cos^3 t \cdot 2 dt = 4 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^3 t dt$$

$\cos^3 t = \cos t (1-\sin^2 t)$ と変形し、$u = \sin t$ とおく。 $du = \cos t dt$ であり、$t$ が $\frac{\pi}{6}$ から $\frac{\pi}{3}$ まで変化するとき、$u$ は $\frac{1}{2}$ から $\frac{\sqrt{3}}{2}$ まで変化する。

$$I = 4 \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (1-u^2) du$$

$$I = 4 \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$$I = 4 \left( \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{24} \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{24} \right) \right)$$

$$I = 4 \left( \frac{3\sqrt{3}}{8} - \frac{11}{24} \right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{11}{6}$$

解法2

(1) における点 $P$ の座標と、(2) における $r$ の別の導出方法を示す。

(1) 直角三角形 $ODC$ において、$\angle ODC = \frac{\pi}{2}$ である。 $O(0,0)$、$D(1+\cos\theta, 0)$ より $OD = 1+\cos\theta$。また、$CD$ の長さは点 $C$ の $y$ 座標に等しいため、$CD = \sin\theta$ である。三平方の定理より、

$$OC = \sqrt{(1+\cos\theta)^2 + \sin^2\theta} = \sqrt{2(1+\cos\theta)}$$

直角三角形 $ODC$ において、$\angle DOC = \alpha$ とおくと、

$$\cos\alpha = \frac{OD}{OC} = \frac{1+\cos\theta}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}}$$

$$\sin\alpha = \frac{CD}{OC} = \frac{\sin\theta}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}}$$

点 $P$ は $D$ から斜辺 $OC$ に下ろした垂線の足であるため、直角三角形 $ODP$ に着目すると、

$$OP = OD \cos\alpha = (1+\cos\theta) \cdot \frac{1+\cos\theta}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}} = \frac{(1+\cos\theta)^2}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}}$$

点 $P$ の $x$ 座標は $OP \cos\alpha$、$y$ 座標は $OP \sin\alpha$ で求められるため、 $x$ 座標は、

$$OP \cos\alpha = \frac{(1+\cos\theta)^2}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}} \cdot \frac{1+\cos\theta}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}} = \frac{(1+\cos\theta)^3}{2(1+\cos\theta)} = \frac{(1+\cos\theta)^2}{2}$$

$y$ 座標は、

$$OP \sin\alpha = \frac{(1+\cos\theta)^2}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}} \cdot \frac{\sin\theta}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}} = \frac{(1+\cos\theta)^2 \sin\theta}{2(1+\cos\theta)} = \frac{(1+\cos\theta)\sin\theta}{2}$$

よって、点 $P$ の座標が求まる。

(2) 上記 (1) の過程で $r = OP$ が得られている。これを整理する。

$$r = \frac{(1+\cos\theta)^2}{\sqrt{2(1+\cos\theta)}} = \frac{(1+\cos\theta)\sqrt{2(1+\cos\theta)}}{2}$$

これ以降の半角の公式を用いた変形および積分の計算は解法1と同様である。

解説

図形の性質やベクトルの内積を活用して、特定の点の座標を導く基本問題である。点 $C$ の座標を正しく設定することがすべての出発点となる。 (2)の積分では、$1+\cos\theta$ の形から半角の公式 $1+\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$ を連想し、根号を外す処理が定石である。積分区間における符号に注意して絶対値を外すこと。被積分関数 $\cos^3 t$ は $\cos t (1-\sin^2 t)$ と変形し、$u = \sin t$ と置換積分するのも頻出の計算手法であるため、確実に押さえておきたい。