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数学3 定積分・面積問題 120 解説

方針・初手

被積分関数に変数 $x$ と積分変数 $t$ が混在しているが、指数法則 $e^{x+t} = e^x e^t$ を用いて分解することで、積分に関係のない $e^x$ を定積分の外にくくり出すことができる。積分区間が定数から定数までである定積分の値は定数となるため、これらを文字定数でおいて関数を決定していく、定数型の積分方程式の定石に従う。

解法1

(1)

与えられた等式は次のように変形できる。

$$f(x) = \int_0^1 e^{x+t} f(t) dt = e^x \int_0^1 e^t f(t) dt$$

ここで、定積分 $\int_0^1 e^t f(t) dt$ の値は定数であるから、これを $k$ とおく。

$$k = \int_0^1 e^t f(t) dt$$

すると、$f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = k e^x$$

これを $k$ の定義式に代入して計算する。

$$\begin{aligned} k &= \int_0^1 e^t (k e^t) dt \\ &= k \int_0^1 e^{2t} dt \\ &= k \left[ \frac{1}{2} e^{2t} \right]_0^1 \\ &= \frac{k(e^2 - 1)}{2} \end{aligned}$$

これを $k$ について整理する。

$$k - \frac{k(e^2 - 1)}{2} = 0$$

$$k \left( \frac{2 - e^2 + 1}{2} \right) = 0$$

$$k \left( \frac{3 - e^2}{2} \right) = 0$$

ここで、自然対数の底 $e$ について $e > 2$ より $e^2 > 4$ であるから、$3 - e^2 \neq 0$ である。したがって、$k = 0$ となる。これを $f(x) = k e^x$ に代入すると、$f(x) = 0$ となり、与式を満たす $f(x)$ は定数関数 $f(x)=0$ のみであることが示された。

(2)

(1) と同様に、与式を変形する。

$$g(x) = e^x \int_0^1 e^t g(t) dt + x$$

定積分 $\int_0^1 e^t g(t) dt$ は定数であるから、これを $C$ とおく。

$$C = \int_0^1 e^t g(t) dt$$

すると、$g(x)$ は次のように表される。

$$g(x) = C e^x + x$$

これを $C$ の定義式に代入する。

$$\begin{aligned} C &= \int_0^1 e^t (C e^t + t) dt \\ &= \int_0^1 (C e^{2t} + t e^t) dt \\ &= C \int_0^1 e^{2t} dt + \int_0^1 t e^t dt \end{aligned}$$

ここで、右辺の第2項は部分積分を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^1 t e^t dt &= \int_0^1 t (e^t)' dt \\ &= \left[ t e^t \right]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^t dt \\ &= e - \left[ e^t \right]_0^1 \\ &= e - (e - 1) \\ &= 1 \end{aligned}$$

よって、$C$ についての方程式は次のようになる。

$$C = \frac{C(e^2 - 1)}{2} + 1$$

これを整理する。

$$C \left( 1 - \frac{e^2 - 1}{2} \right) = 1$$

$$C \left( \frac{3 - e^2}{2} \right) = 1$$

(1) と同様に $3 - e^2 \neq 0$ であるから、両辺を割ることができる。

$$C = \frac{2}{3 - e^2}$$

これを $g(x) = C e^x + x$ に代入して、求める関数を得る。

$$g(x) = \frac{2}{3 - e^2} e^x + x$$

解説

積分区間に変数が含まれない定積分の値は定数となることを利用する、定数型の積分方程式の典型問題である。被積分関数の中に $x$ と $t$ が混在している場合は、$x$ を定数とみなして積分の外に追い出す操作が最初のポイントとなる。また、(2)の計算過程で現れる $\int t e^t dt$ は部分積分の頻出パターンであるため、素早く正確に計算できるようにしておきたい。