数学3 定積分・面積 問題 121 解説

方針・初手

(1) 示したい不等式が2つ連なっているので、2つの関数を定義して微分し、それぞれの増減を調べることで証明できる。あるいは、定積分の不等式評価を利用することでも簡潔に証明できる。 (2) 定積分を用いて極限値を求める「区分求積法」の基本公式を適用する。 (3) 数列が積の形で表されているため、自然対数をとって和の形に変換する。(1) の不等式を利用してはさみうちの原理に持ち込み、(2) の結果を活用する。

解法1

(1)

$0 \leqq x \leqq 1$ において、関数 $f(x)$ と $g(x)$ を次のように定める。

$$f(x) = \log\left(1+\frac{x}{n}\right) - \frac{x}{n+1}$$

$$g(x) = \frac{x}{n} - \log\left(1+\frac{x}{n}\right)$$

$f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{x}{n}} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n+x} - \frac{1}{n+1} = \frac{1-x}{(n+x)(n+1)}$$

$0 \leqq x \leqq 1$ かつ $n \geqq 1$ であるから、$(n+x)(n+1) > 0$ であり、$1-x \geqq 0$ となるため、$f'(x) \geqq 0$ である。 したがって、$f(x)$ はこの区間で単調に増加し、$f(x) \geqq f(0) = 0$ となる。 よって、

$$\frac{x}{n+1} \leqq \log\left(1+\frac{x}{n}\right)$$

が成り立つ。

次に、$g(x)$ を $x$ について微分すると、

$$g'(x) = \frac{1}{n} - \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{x}{n}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+x} = \frac{x}{n(n+x)}$$

$0 \leqq x \leqq 1$ かつ $n \geqq 1$ であるから、$n(n+x) > 0$ であり、$x \geqq 0$ となるため、$g'(x) \geqq 0$ である。 したがって、$g(x)$ はこの区間で単調に増加し、$g(x) \geqq g(0) = 0$ となる。 よって、

$$\log\left(1+\frac{x}{n}\right) \leqq \frac{x}{n}$$

が成り立つ。 以上より、$0 \leqq x \leqq 1$ を満たす実数 $x$ に対して、$\frac{x}{n+1} \leqq \log\left(1+\frac{x}{n}\right) \leqq \frac{x}{n}$ が成り立つことが示された。

(2)

区分求積法を用いる。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^5 = \int_{0}^{1} x^5 dx = \left[ \frac{1}{6}x^6 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6}$$

(3)

$a_n = \left(1+\frac{1^5}{n^6}\right)\left(1+\frac{2^5}{n^6}\right)\cdots\left(1+\frac{n^5}{n^6}\right)$ の両辺の自然対数をとると、

$$\log a_n = \sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k^5}{n^6}\right)$$

(1) の不等式において、$x = \left(\frac{k}{n}\right)^5$ とおく。$1 \leqq k \leqq n$ のとき $0 < x \leqq 1$ を満たすので、

$$\frac{1}{n+1}\left(\frac{k}{n}\right)^5 \leqq \log\left(1+\frac{1}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^5\right) \leqq \frac{1}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^5$$

すなわち、

$$\frac{1}{n+1}\left(\frac{k}{n}\right)^5 \leqq \log\left(1+\frac{k^5}{n^6}\right) \leqq \frac{1}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^5$$

この不等式において、$k=1, 2, \dots, n$ として辺々を加えると、

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+1} \left(\frac{k}{n}\right)^5 \leqq \sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k^5}{n^6}\right) \leqq \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \left(\frac{k}{n}\right)^5$$

$$\frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^5 \leqq \log a_n \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^5$$

ここで、$n \to \infty$ のとき、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = 1$$

であり、(2) の結果から $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^5 = \frac{1}{6}$ である。 したがって、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} \log a_n = 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$$

対数関数 $y = \log x$ は連続関数であるから、求める極限値は、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = e^{\frac{1}{6}}$$

解法2

(1) の積分法を用いた別解。

$t \geqq 0$ のとき、

$$\frac{1}{1+t} \leqq 1$$

が成り立つ。$x>0$ として、両辺を $t$ について $0$ から $\frac{x}{n}$ まで積分すると、

$$\int_{0}^{\frac{x}{n}} \frac{1}{1+t} dt \leqq \int_{0}^{\frac{x}{n}} 1 dt$$

$$\left[ \log(1+t) \right]_{0}^{\frac{x}{n}} \leqq \left[ t \right]_{0}^{\frac{x}{n}}$$

$$\log\left(1+\frac{x}{n}\right) \leqq \frac{x}{n}$$

一方、$0 < x \leqq 1$ であり $n \geqq 1$ であるから、積分区間 $0 \leqq t \leqq \frac{x}{n}$ において、

$$t \leqq \frac{x}{n} \leqq \frac{1}{n}$$

$$1+t \leqq 1+\frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}$$

$$\frac{1}{1+t} \geqq \frac{n}{n+1}$$

両辺を $t$ について $0$ から $\frac{x}{n}$ まで積分すると、

$$\int_{0}^{\frac{x}{n}} \frac{n}{n+1} dt \leqq \int_{0}^{\frac{x}{n}} \frac{1}{1+t} dt$$

$$\left[ \frac{n}{n+1} t \right]_{0}^{\frac{x}{n}} \leqq \left[ \log(1+t) \right]_{0}^{\frac{x}{n}}$$

$$\frac{n}{n+1} \cdot \frac{x}{n} \leqq \log\left(1+\frac{x}{n}\right)$$

$$\frac{x}{n+1} \leqq \log\left(1+\frac{x}{n}\right)$$

$x=0$ のときは $\frac{x}{n+1} = \log\left(1+\frac{x}{n}\right) = \frac{x}{n} = 0$ となり成立する。 以上より、$0 \leqq x \leqq 1$ を満たす実数 $x$ に対して、$\frac{x}{n+1} \leqq \log\left(1+\frac{x}{n}\right) \leqq \frac{x}{n}$ が成り立つ。

解説

不等式の評価、区分求積法、はさみうちの原理という、数学III（理系数学）の極限における王道テーマを組み合わせた典型問題である。 (1) の不等式証明は、微分の利用でも積分の利用でもよいが、関数 $\log(1+x)$ に関する不等式は定積分を利用すると簡潔に示せる場合が多い。 (3) は積の極限であるため、対数をとって和の極限に帰着させるのが定石である。そこで (1) の不等式を利用し、(2) の区分求積法の形を作るために $x = \left(\frac{k}{n}\right)^5$ を代入することを見抜けるかが鍵となる。

答え

(1) 略（解法参照）

(2) $\frac{1}{6}$

(3) $e^{\frac{1}{6}}$